2022 Fiscal Year Research-status Report
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22K03269
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
藤田 健人 大阪大学, 大学院理学研究科, 准教授 (40779146)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| Keywords | K安定性 / 極小モデル理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
準単項的付値に着目し、一般の偏極代数多様体のK安定性の双有理幾何やK安定性を考え直す取り組みを模索している。一般に偏極が標準因子とずれているような偏極代数多様体に対し、そのK安定性を考察するのは難しいとされる。これは様々な要因があるが、問題の難しさは線型系の次元の漸近挙動の評価が難しいことが問題の難しさの理由の大きな一つであると考えている。この観点で上手く「付値判定法」の類似物を模索していたが、今年度はその方向では進展を見せていない。その代わりに、具体例での（一般偏極での）K安定性の考察で、どのような不変量を考えるべきだろうかを簡単な代数多様体上で模索した。この方向では、四ツ谷氏との共同研究で、「どのような偏極に対してもK半安定となるようなBott多様体は射影直線の積に限る」なる構造定理を得た。この証明に現れる種々の不変量のうち、どれが意味のあるものなのか、そしてそれを如何にして一般論に昇華していけるかを考えているところである。
また一般偏極のみならず、偏極が反標準因子、つまりファノ多様体でのK安定性も研究している。近年ファノ多様体のK安定性は大きな進展を見せたが、未だに非特異3次元ファノ多様体ですら全てのメンバーに対しK安定性を決定することが出来ないでいる。Cheltsov、Desinova、岸本、Park、岡田との複数の共同研究で、特定の複数の族に属する3次元ファノ多様体のK安定性を全て決定することも今年度行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度はBott多様体やFano多様体という具体的な対象に対してはK安定性の理解を進展させることが出来、実際複数本の論文を書くに至ったことは大きな進展である。しかしながら一般偏極、更に準単項的付値に着目する方向での寄与は未だ途上である。
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| Strategy for Future Research Activity |
そもそも何故準単項的付値に着目すべきかというと、ファノ多様体のK安定性の最近の発展で準単項的付値が極めて重要な役割を果たしたためである。近年その方面の牽引者のXu氏が教科書を著しており、そこでLiu-Xu-Zhuangの定理の証明の（Xu-Zhuangの定理の方法を大域化した）簡略化された証明が著された。そこに現れる「q-dlt Fano model」はこの研究課題に於いてまさに考えるべきアイデアを含んでいるのではないかと考えており、考察を含めたいところである。
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| Causes of Carryover |
2022年度に行う予定だった研究打ち合わせが2023年度に繰り越すこととなった。これにより2023年度に多く旅費を使用することになる予定なので、次年度使用額が生じた。
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