| Outline of Annual Research Achievements |
指数型不定方程式論において, ピタゴラス数に関するJesmanowicz予想は有名である.これは a＾2 + b＾2 = c＾2 を満たす正の整数とするとき, 不定方程式 a＾x+b＾y=c＾z はただ一つの正の整数解 (x,y,z)=(2,2,2) をもつという予想である. この予想の類似として, 一般化されたRamanujan-Nagell方程式 x＾2 + b＾m = c＾n (GRN) や a＾x+b＾y=c＾z (EXP) が自明な解以外の解をもつかどうかを考える. ただし, a,b,c,p,q,rは a＾p + b＾q = c＾r (*)を満たす正の整数である.(GRN)に関しては, (*)が (c-1)＾2 + (4c)＾1 = (c+1)＾2 の関係を満たすとき, いくつかの条件の下で自明な解しかもたないことを示し, 査読論文(Indian Journal of Pure and Applied Math., 54(2023))を出版した. (EXP)については, aまたはcが2に等しいとき,いくつかの条件の下で自明な解しかもたないことを示し, 査読論文(Bull. Australian Math. Soc. Math., 107(2023))を出版した. これらの話題は「Ramanujanと関係する指数型不定方程式」という題目で第15回福岡数論研究集会(於 九州大学; 2023年9月13日)において講演した.
2023大分宮崎整数論研究集会(於宮崎大学教育学部;2023年9月15日-2023年9月17日)を世話人として主催した. 不定方程式論, 多重ゼーター関数, 代数的整数論, 解析的整数論,表現論に関する素晴らしい講演が行われ, 若い大学院生を含めて多くの出席者があった. 各講演について活発な質疑応答があり, 整数論の研究者と有意義な意見交換ができた.
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Jesmanowicz予想の類似として, 一般化されたRamanujan-Nagell方程式 x＾2 + (4c)＾m = (c+1)＾n (GRN) が自明な解以外の解をもつかどうかをInt. Math. Forum 17(2022) において考え, c=5,7,309のとき(GRN)が例外的解をもつことを予想した. この論文では, pがある合同条件を満たす素数とし, c=p＾r, p＾r-1, 2p＾r, 4p＾rのとき, 予想が正しいことを確かめた. 今回のIndian J. of Pure and Applied Math. 54(2023)の論文では, これらの結果を大幅に拡張できた. その証明は, Lehmer numbers の primitive divisor に関するBHVの定理や一般化されたFermat方程式に関するいくつかの深い結果による. これらの話題は「いろいろな指数型不定方程式の解の個数」という題目で数理情報科学さくらセミナー2024（於 鹿児島大学理学部) において講演した.
|
| Strategy for Future Research Activity |
b,c を互いに素な1より大きな正の整数とするとき, 一般化されたRamanujan-Nagell方程式 x＾2 + b＾m = c＾n (GRN) は, x＾2 + 7＾m = 2＾n, x＾2 + 2＾m = 3＾n を除いて, 高々3個の正の整数解 (x,m,n) をもつことが予想されている. 今後は, repdigit数を含む(GRN)を研究したい. k番目のrepdigit数は R_k=a*(10＾k-1)/9 で定義される. ここで, aは1≦a≦9となる整数である. このとき, 一般化されたRamanujan-Nagell方程式 x＾2 ± a* R_m = 2＾n (*)は, aの値により解をもったりもたなかったりする. まず, MAGMAにより(*)の解を数値実験で求め, 解(x,a,m,n)に関する予想を提起する. 初等的方法, 一般化されたRamanujan-Nagell方程式に関するいろいろな結果, Bennettによる解の評価等を用いて,(*)の解を完全に決定したい.
|
