線型微分方程式とモジュラー形式

2022 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 22K03278
• Research Institution: Niihama National College of Technology
• Principal Investigator: 松田 一秀 新居浜工業高等専門学校, 数理科, 准教授 (20550106)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 加藤 諒 新居浜工業高等専門学校, 数理科, 講師 (10804784) ; 門田 慎也 新居浜工業高等専門学校, 数理科, 講師 (70824811)
• Project Period (FY): 2022-04-01 – 2027-03-31
• Keywords: 微分体 / テータ定数 / 微分公式

Outline of Annual Research Achievements

レベル 6 のモジュラー形式が満たす非線形微分方程式についてまとめました. 具体的には, 微分方程式・微分体, テータ定数の恒等式(theta constant identity), さらに微分公式(derivative formula) についてまとめました. レベル 1 からレベル 6 までのモジュラー形式を今まで扱ってきましたが, レベル 6 が最も内容が豊富だと思います.
今までは主にレベル 2, 3, 5 というように, レベルが素数のモジュラー形式を扱ってきましたが, 今回初めてレベルが素数でないモジュラー形式を扱いました. 素数の場合に比べてレベルが 4, 6 の場合は部分微分体あるいは, 微分体の拡大がより複雑になってきます. 微分ガロア理論で何らかの分析ができれば興味深く思われます.
レベルが 6 の場合は線形微分方程式との関連においても内容が豊富であると思われます. モジュラー形式と線形方程式との関係については, テータ定数と超幾何関数方程式の関係が古典的によく知られています. 同じような関係がレベル 6 の場合にも考えられます. 超幾何方程式は確定特異点が 3 つですが, レベル 6 の場合は特異点の個数が増えるため, 内容が複雑になってくると考えられます.

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

数学を研究するには抽象的な概念だけでなく, 具体例が必要であるが, モジュラー形式が満たす非線形方程式については, 大体において, 研究に必要な具体例が得られたと思われる.

Strategy for Future Research Activity

非線形方程式について結果が得られたので, 線型方程式について研究を進めたい.

Causes of Carryover

計算機の更新などに助成金を使う予定です.