2022 Fiscal Year Research-status Report
Is it possible to mathematically formulate origami for materials with the property of stretching and shrinking?
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22K03288
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| Research Institution | Okayama University |
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Principal Investigator |
近藤 慶 岡山大学, 自然科学学域, 教授 (70736123)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
谷口 雅治 岡山大学, 異分野基礎科学研究所, 教授 (30260623)
物部 治徳 大阪公立大学, 大学院理学研究科, 准教授 (20635809)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| Keywords | 折り紙 / 薄滑解析 / リーマン多様体 / 川崎条件 / 偏微分方程式 / 部分多様体論 / Allen-Cahn方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
当該年度は、「研究実施計画」において定めた研究行程のStep 1 にあたるDacorogna-Marcellini-Paoliniによる論文[J. Math. Pures Appl., 2008]の精読を遂行した。ところで、本研究の目的は大域リーマン幾何学および薄滑解析の概念をリプシッツ写像に適用することによって「伸び縮みの性質を持つ素材に対する折り紙の数学的定式化」を行うことであるが、本研究課題開始前より分担者・谷口から「伸び縮みの性質を持つ材料に対する折り紙などの微分幾何的構造を伝播・伝達する手法としてAllen-Cahn方程式の進行波の理論も有用ではないか」という指摘を受けていた。そこで、その方面の情報収集に力を入れたところ、O. ChodoshとC. Mantoulidisによる3次元多様体上のAllen-Cahn方程式と極小曲面の関係に関する研究において大きな進展があったことが分かった（Ann. of Math.，2020）。すなわち、Chodoshらは、Marques-Nevesによるmultiplicity-one予想とindex lower bound予想を解決していた。本研究課題においては、課題遂行の中で今後確立されていくであろう我々自身の理論の部分多様体論への適用も視野に入れているため、薄滑解析の立場を軸にしながらも研究課題へのAllen-Cahn方程式に関するChodoshらの理論の適用の可能性についても考察していきたい。また、本研究における基礎理論である薄滑解析に関する代表者の論文[J. Math. Soc. Japan, 2022]内の結果であるレーブ・ミルナー・ローゼンの球面定理のリプシッツ関数への拡張について、北海道大学で開催された学会、熊本大学での研究集会、筑波大学でのワークショップ、および東京理科大学での研究集会等において口頭発表を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
令和3年度に学科長（学部）と専攻長（大学院）を兼任し、令和3年度はほとんど研究に時間を割ける事ができなかったため、当該年度においては「軽め」の大学運営の仕事を期待したが、教務・学生委員という「重い」の委員の仕事を務めることとなり、多忙であった。しかし、そうした多忙の中でも、「研究実績の概要」において上述したように「研究実施計画」の研究行程のStep 1を遂行することができた。また、レーブ・ミルナー・ローゼンの球面定理のリプシッツ関数への拡張に関して口頭発表を6件行うことができ、本研究における基礎理論である薄滑解析の微分幾何学への応用の威力と有用性を専門家に理解してもらえたのではないかと考えている。以上により、おおむね順調に進展していると評価した。
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| Strategy for Future Research Activity |
「研究実施計画」において定めた研究行程Step 2およびStep 3に入っていきたい。具体的には、先ず、伸び縮みの性質を持つ素材に対する折り紙の数学的な定式化の候補として「屈伸写像」を定義する。定義は以下である：n ≦ mとするとき、n次元ユークリッド空間内の領域 Ω からm次元ユークリッド空間へのリプシッツ写像Fが屈伸写像であるとは、像 F(Ω) が自己交差をしないときをいう。さて、F が微分不可能である(n-1)次元ルベーグ測度零集合を Σ で表すとき、屈伸写像の定義においては Ω--Σ 上でFが1回連続偏微分可能であることを仮定しないため、屈伸写像の族はDacorognaらが剛体折り紙の数学的定式化として定義した区分的1回連続偏微分可能な剛体写像の族より広い。次に、n = m と仮定し、Clarkeの意味での F の特異点の存在（折れ線全体の集合）から F の平坦性の定義について考察し、その平坦性から得られる川崎条件を定める。その後、Dacorognaらによる回復定理の拡張について考察する。大学運営の仕事で多忙を極め進捗状況が遅れる可能性がある場合は、研究協力者を増やすなどして迅速に対応していきたい。
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| Causes of Carryover |
次年度使用額の内30,000円分については、分担者である谷口が代表者と同じ機関に所属していること及び谷口自身が代表である科研費の使用を優先したために生じた額である。一方、次年度使用額の内6,393円については、代表者の当該年度の未使用分であるが、費目別収支状況等を見ていただければ誤差の範囲であることが分かる。使用計画については、令和5年度分として請求した助成金と合わせて、書籍や旅費として使用予定である。
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