2023 Fiscal Year Research-status Report
曲率次元条件を満たす測度距離空間の離散空間による近似
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22K03291
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| Research Institution | Kumamoto University |
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Principal Investigator |
北別府 悠 熊本大学, 大学院先端科学研究部(理), 准教授 (50728350)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| Keywords | Gromov-Hausdorff 収束 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度はハイパーグラフ上の Ricci 曲率をより深く理解するためにグラフ上の相対エントロピーの凸性を用いて曲率を定義する Erbar-Maas, Mielke の仕事を学んだ. この手法では, 有限点集合上の Markov chain を用いて曲率を定義するが, 点同士の距離構造も反映することでグラフの性質をより捉えられるのではないかと試行錯誤している. ただその場合確率測度の間の距離は通常の Wasserstein 距離とは異なる. ある種のポテンシャル関数に対しては, 点の数を増やしていくことで例えばコンパクトな多様体を適切に近似できることが知られているが, 一般にはよくわかっていない. 有限次元性を反映させるためにはポテンシャル関数の取り方を上記の論文とは異なる方法で定める必要があるのではないかと考えている. したがってその距離が近似している空間の距離に近づいていくかどうかも今後考えなければいけない.
またその上で無限小ヒルベルト的条件及び有限次元性からくるエントロピーの勾配流の性質を研究した. その副産物として, RCD 空間上の Shannon 不等式について研究をまとめ, 後日 arXiv に投稿予定である. 具体的には非崩壊 RCD(0,N) 空間上の「良い」確率測度に対して Shannon 不等式が成り立ち, その定数項はユークリッド空間と等しいことを示した. 手法としては, 先に述べたようにエントロピーの勾配流の特徴づけと熱核のGromov-Hausdorff 収束に沿った振る舞いを利用した. その応用として, 不等式の剛性定理, 概剛性定理及び, Heisenberg-Pauli-Weyl の不確定性原理の成立も示した.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度は様々な曲率概念を比較することに費やしており, それをハイパーグラフなどに適用して結果を得るところまでは到達していない. しかしながら得られた知見は今後必ず役にたつと確信しているので, 概ね順調に進展しているとした.
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度得られた結果をもとに, まずは非負曲率の概念を様々な観点から定式化していく. 特に有限次元性を反映した定義を模索していく.
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| Causes of Carryover |
年度末に当該残額程度で出張もできず, 購入すべき物品もなかったため
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