2023 Fiscal Year Research-status Report
Research of submanifolds by using the mean curvature flow and Lie group actions, and its application to theoretical physics
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22K03300
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
小池 直之 東京理科大学, 理学部第一部数学科, 教授 (00281410)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | 平均曲率流 / リー群作用 / 等径部分多様体 / ゲージ理論 / 無限次元部分多様体論 / カラビ・ヤウ構造 / 特殊ラグランジュ部分多様体 / 部分多様体の複素化 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
令和５年度は、次の３つの研究を推進させた。
１. 前年度までに行ったヒルベルト空間内の無限次元等径部分多様体のゲージ理論を絡ませた研究を土台として，一般のリーマンヒルベルト多様体内で、等径部分多様体，及び、等焦部分多様体という概念を定義し，これらの部分多様体に関するいくつかの事実を示した。特に，次のような等焦部分多様体の構成法を与えた。Bをn次元コンパクトリーマン多様体とし、PをB上のコンパクト半単純リー群Gを構造群とする主バンドルとし、PのH^s接続全体のなす可分なヒルベルト空間をA_P^{H^s}と表す。ここで、sは(n/2-1)よりも大きい実数とする。A_P^{H^s}には、H^{s+1}ゲージ変換群の作用が等長的になるようなリーマン計量g_sを与える。このとき、そのゲージ変換群のある部分群作用の主軌道がリーマンヒルベルト多様体(A_P^{H^s},g_s)内の等焦部分多様体になることを示した。この研究に関する論文は、arXiv paperとして発表済みであり、次年度、最終チェックをし、学術雑誌に投稿する予定である。
２．階数2のコンパクト型リーマン対称空間G/Kの複素化上のG不変なカラビ・ヤウ構造の存在定理の証明の不備を改善し、その証明を完成させ、論文としてまとめた。この論文は、arXiv paperとして発表済みであり、現在、ある学術雑誌に投稿中である。このarXiv paperは、既に、海外の著名な研究者によって引用されている。
３．私の研究室に所属する藤井知輝さんとの共同研究により、コンパクト型対称空間G/K上の(余等質性２以下の)超極作用に関して不変な関数のグラフとして与えられるG/Kと直線Rとの直積リーマン多様体G/K×R上の平均曲率流のトランスレーティンングソリトンの形状分類の研究を行い、論文としてまとめ、ある学術雑誌に投稿中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究概要に記載した３つの研究すべてを推進させることができ、現在、論文としてまとめ、ある学術雑誌に投稿中である。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究概要に記載した1の研究については、リーマンヒルベルト多様体内の等径部分多様の具体的構成法をゲージ理論を利用して与え、ゲージ理論へフィードバックしたいと考えている。2の研究については、階数2のコンパクト型対称空間G/Kの複素化上で構成されるG不変なカラビ・ヤウ構造のリーマン幾何学的構造をそのコンパクト化を利用して詳しく調べる予定である。3の研究については、コンパクト型対称空間G/K上の(余等質性１の)超極作用に関して不変なR^2に値をとるベクトル体関数のグラフとして与えられるG/Kと平面R^2との直積リーマン多様体G/K×R^2上の平均曲率流のトランスレーティンングソリトンの形状分類の研究を行いたいと考えている。この研究は、本年度に引き続き、藤井知輝さんとの共同研究で行いたいと考えている。
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