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2023 Fiscal Year Research-status Report

Study on geometric structures of curvature flows and submanifolds

Research Project

Project/Area Number 22K03303
Research InstitutionFukuoka University

Principal Investigator

成 慶明  福岡大学, 理学部, 教授 (50274577)

Project Period (FY) 2022-04-01 – 2025-03-31
Keywords部分多様体の幾何学 / 曲率フロー / 最大値原理 / 特異点 / 平均曲率フロー
Outline of Annual Research Achievements

研究目的1:平均曲率フローの完備セルフ-シュリンカーの分類に関する研究について, 研究代表者と研究協力者Wei Guoxin教授等はn+1次元Euclid空間内の第2基本形式の長さが一定となる完備セルフ-シュリンカー対して, 第2基本形式の長さに関する第2ギャップ現象を研究し、最適な評価に近い評価を得た。第2基本形式の長さが一定となる完備セルフ-シュリンカーに関する予想の解決に前進した。
研究目的2:単位球面内の極小コンパクト超曲面の分類に関する研究及び平均曲率が一定の完備超曲面の分類に関する研究について,我々はw-平均曲率を定義し、広義最大値原理を用いて、w-平均曲率が一定となる完備な超曲面のスカラー曲率に関する研究を行い、スカラー曲率の下限を評価した。
研究目的3に従い, 重み付き体積保存平均曲率フローのλ-超曲面を研究し、λが負の時、回転対称の超曲面が満たす微分方程式を研究し、それの定数解に近くの解の振る舞いを調べた。それを用いて、標準球面ではない埋め込み微分球面を構成した。この研究成果により、負のλに対して、埋め込みλ-超曲面についてAlexandrov型の定理が期待できないことを示した。
令和5年度国際研究交流の一環として2023年9月第8回日中幾何学研究集会を中国桂林にて開催し、外国研究者と部分多様体の幾何学に関する研究打ち合わせを行った。さらに, 2024年3月平戸市田平町および佐賀大学にて微分幾何学国際研究集会を開催し, 完備セルフ-シュリンカーと重み付き体積保存平均曲率フローの完備λ-超曲面に関する研究打ち合わせを行った。それにより本研究課題を推進するために、重要な役割を果たし、とても有益になった。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

本研究では研究課題の研究計画に沿って部分多様体の幾何学に関する研究方法と広義最大値原理を用いて, 平均曲率型のフローに現れる特異点に関する幾何構造に関する研究を順調に推進している。さらに, 研究目的2に従い, 研究代表者と研究協力者Wei Guoxin教授等は単位球面内のn次元スカラー曲率が一定で完備な超曲面を研究し,w-平均曲率を定義し、w-平均曲率が一定となる完備な超曲面のスカラー曲率に関する研究を行い、スカラー曲率の下限を評価した。重み付き体積保存平均曲率フローのλ-超曲面に対して、λが負の時、標準球面ではない埋め込み微分球面を構成した。

Strategy for Future Research Activity

令和6年度の研究体制は令和5年度の体制と同様である。本研究課題の研究計画に沿って, 令和5年度まで確立した基本的な研究手法を踏まえ, 新しい研究方法を発案する。 それを用いて, これまでの 研究成果に基づき, さらなる研究を行う。 研究代表者は国際研究集会と国内研究集会及びシンポジウムに参加・講演を通じて多方面の研究者と交流することを目指す。研究進展具合を踏まえながら, 次のような計画を考えている。重み付き体積を保つ平均曲率フロー型の完備λ-超曲面に関する研究及び平均曲率フローのセルフ-シュリンカーに関する研究を行う。埋め込みλ-超曲面を具体的に構成する。さらに、香川県高松市にて中国側の組織委員会と第9回日中幾何学研究集会を開催する。

Causes of Carryover

予定した外国人研究者と対面での研究打ち合わせは外国人研究者のご都合が急に悪くなったため、次年度に実施することに変更した。それで、2024年7月ブラジルでの国際研究集会The 21th Schodl of Differential Geometryに参加するとき対面で研究打ち合わせを行う対策を考案しましたので、本研究課題の推進に影響しない。

  • Research Products

    (12 results)

All 2024 2023 Other

All Int'l Joint Research (1 results) Journal Article (3 results) (of which Int'l Joint Research: 3 results,  Peer Reviewed: 3 results) Presentation (4 results) (of which Int'l Joint Research: 4 results,  Invited: 4 results) Remarks (1 results) Funded Workshop (3 results)

  • [Int'l Joint Research] South China Normal University(中国)

    • Country Name
      CHINA
    • Counterpart Institution
      South China Normal University
  • [Journal Article] A classification of complete 3-dimensional self-shrinkers in the Euclidean space R^42024

    • Author(s)
      Cheng Qing-Ming, Li Zhi and Wei Guoxin
    • Journal Title

      Sci. China Math.

      Volume: 67 Pages: 873-882

    • DOI

      10.1007/s11425-022-2121-7

    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] Examples of compact embedded convex λ-hypersurfaces2024

    • Author(s)
      Cheng Qing-Ming, Lai Junqi and Wei Guoxin
    • Journal Title

      J. Funct. Anal.

      Volume: 286 Pages: 110211: 1-12

    • DOI

      10.1016/j.jfa.2023.110211

    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] Complete hypersurfaces with w-constant mean curvature in the unit spheres2024

    • Author(s)
      Cheng Qing-Ming and Wei Guoxin
    • Journal Title

      Trans. Amer. Math. Soc.

      Volume: 377 Pages: 887-904

    • DOI

      10.1090/tran/9076

    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Presentation] Minimal hypersurfaces in the unit sphere2024

    • Author(s)
      Cheng Qing-Ming
    • Organizer
      The international workshop on differential geometry and applications, Saga University
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Geometry of critical points of functional2024

    • Author(s)
      Cheng Qing-Ming
    • Organizer
      The international workshop on differential geometry, Hirado
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] n-dimensional Vacuum Static Spaces2023

    • Author(s)
      Cheng Qing-Ming
    • Organizer
      Workshop on Differential Geometry, Nanchang University
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Fischer-Marsden conjecture2023

    • Author(s)
      Cheng Qing-Ming
    • Organizer
      Seminar in Differential Geometry, Tsinghua University
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Remarks] Cheng Qing-Ming Homepage

    • URL

      http://www.cis.fukuoka-u.ac.jp/~cheng/

  • [Funded Workshop] The international workshop on differential geometry2024

  • [Funded Workshop] The international workshop on differential geometry and applications2024

  • [Funded Workshop] The 8th China-Japan Geometry Conference2023

URL: 

Published: 2024-12-25  

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