2022 Fiscal Year Research-status Report
Global study of nonintegrable distributions from the view point of the h-principle
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22K03305
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
足立 二郎 北海道大学, 理学研究院, 理学研究院研究員 (20374184)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 積分不可能な接分布構造 / Cartan分布 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の大きな目的は，多様体上の幾何構造に関する「幾何学的」研究と「トポロジー的」研究をの関連を追求することである．考察のアイディアや証明の方針として，ホモトピー原理の考えかたをが鍵になると想像している．2022年度に行った研究では(3,5)-分布とそれに関連する幾何構造に関して，考察をした．特に，閉多様体上での構造の存在や分類は微分トポロジーにおける自然な興味である．
(3,5)-分布とは，５次元多様体上の最も積分が不可能な階数３の接分布構造である．すなわち，５次元多様体上の各点に３次元の接部分空間を対応させる接分布構造であり，１回のLieかっこ積でその多様体の接束になるものである．これは，ロケットの制御や机上を転がるボールのモデルとして現れる構造である．またCartanの(2,3,5)分布や，特殊多重旗構造と呼ばれる幾何構造の一部分とも考えられる．
(3,5)－分布に関しては，５次元閉多様体でその接束が自明な３次元部分束を持つことが存在の必要十分条件であることが分かった．また分類に関しては，５次元多様体を固定した時に，２つの(3,5)－分布が形式的構造としてホモトピックであれば，(3,5)－分布としてホモトピックであることが分かった．ここで形式的構造とは，階数３の接分布構造とその上の１次独立な２つの2形式のことである．
すなわちこの形の研究は，多様体上の幾何構造が多様体の位相的な性質に影響することを意味している．さらに，トポロジーと微分幾何学の相互作用による双方の発展のみならず，制御理論への寄与も期待できる．
そして，2022年度中に研究対象を関連する他の接分布構造へ拡大させている．
研究の一部は国内外の研究者たちとの共同研究として進めている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
新型コロナウイルス感染症の蔓延が，研究の進捗にも大いに影響した．講義準備や学生対応に費やす時間の飛躍的に増加した状態が続いた．昨年度までの経験もふまえて，隙間のほんの僅かな時間に研究を続けようと努めた．しかし，依然として計画にはとても追いつかなかったと言わざるを得ない.
まとまった時間が取れなくなったことは，研究結果や情報収集や共同研究に影響が大きかった．
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| Strategy for Future Research Activity |
まず，感染症がおさまって研究時間を確保できる状況になることを祈る．
研究結果の公開の遅れを取り戻したい．
様々な幾何構造の存在に関する共同研究に関しては，できれば直接に会って議論することによって，進行を加速したい．必要に応じて新しい方法を模索しながら進めていきたい．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染症のひきつづきの蔓延により，研究機会がおおいに制限を受けた．共同研究や，研究成果の発表などのための旅費を予定していたが，使用機会は多くはなかった．
次年度には，渡航が可能になれば海外の研究者との直接の議論の機会を持ちたい．また周辺分野の活性化のための研究情報の交換の場を企画したい．
オンラインによる研究情報の交換や議論のために必要な設備も整えたい．
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