2023 Fiscal Year Research-status Report
Research on the relationship between canonical metrics and deformations of complex structures on compact Kahler manifolds
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22K03316
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| Research Institution | Kagawa University |
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Principal Investigator |
四ッ谷 直仁 香川大学, 教育学部, 准教授 (00806755)
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2022-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | T-variety / 複素構造変形理論 / トーリックケーラー多様体 / GKZ理論 / 幾何学的不変式論と安定性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
まず(1) Gorenstein特異点をもつトーリックファノ多様体において,漸近的チャウ半安定性がDing準安定性を導くこと,(2)非特異トーリックファノ多様体において相対的Ding安定性の判定で重要な役割を担う不変量(満渕定数)の加法性(直積公式)をそれぞれ証明しジャーナル Mathematics,11(19),4114 (DOI:10.3390/math11194114)において論文が掲載された.また自身が中国のポスドク時代から研究課題の1つとして掲げていた「Paulによるウェイト多面体を用いた数値的半安定性をGelfand-Kapranov-Zelevinsky(GKZ)理論の文脈から偏極toric多様体上で展開する」という問題を解決した(arXiv:2401.02010).より具体的には,K-energy汎函数がケーラーpotential上の空間において下から有界であることと同値な「漸近的数値的半安定性」がDonaldsonの定めたK-半安定性と同値となることを任意次元の偏極トーリック多様体上で証明した.
この証明には元の射影トーリック多様体Xと射影空間P^{n-1}との直積多様体Y=XxP^{n-1}を新たな射影トーリック多様体とみなし,対応する幾何学的不変量(Futaki-Paul不変量)をGKZ-理論を駆使して,Xに付随するモーメント多面体の情報から導出するというアイディアが有効に使われている.これらは,藤田健人氏との共同研究(Ann.Ferrara(2024),7)や小野肇氏-佐野友二氏との共同研究(arXiv:2305.05924)を通して培われたものでありHurwitz形式と呼ばれるStrumfelz(J.Symbolic Comput.79(2017),186-196.)により導入された不変形式の計算が重要な役割を果たしている.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
2023年度は大学運営に関わる仕事,教育学部特有の仕事が急激に増えたため,自身の数学研究に携わる時間が激減した.また2024年度には学務委員の仕事も負担することになる一方で, Math Schi Netをはじめとしたジャーナルの購読も出来ない現在の研究環境はかなり厳しい.それにもかかわらず普段の授業準備をいままでの教育経験を活かしながら効率的に行い,週末や祝日をはじめとしたプライベートの時間を全て犠牲にし,何とか何とか研究推敲に必要な最低限の時間を確保した.さらにパンデミックが終息したことにより,フランス・英国を始めとしたヨーロッパやアメリカでの国際研究集会に積極的に出席・参加することができたため,最前線の研究内容について関連研究者と議論できたことが良い結果に結びついたといえる.とくにフランス(Le Croisic)の研究集会では自身の最新の研究結果に関する講演の機会まで得ることができ,多くの専門家たちと議論ができたのたのは非常に運がよかった.こうした経験は専門知識に関する理解を深めるといった実用的な部分のみならず,帰国後に研究意欲を維持し粘り強く研究遂行の努力を続けるうえでも非常に重要な鍵となることを今更ながらに実感している.
一方で,最近ではZoomを用いたハイブリッド形式の研究集会やセミナーなどがオンラインで開催されているため,それらを有効に活用しながら,現在所属する香川大学における圧倒的に不利な数学研究環境を是正するといった工夫もうまく機能していると思われる.また国際研究集会では積極的に海外研究者と英語もしくは中国語によるコミュニケーションを展開し,共通課題や接点を見出し,帰国後にSkypeやZoomといったオンラインのツールをうまく組み合わせながら国際共同研究へと発展させるなどの地道な努力も着実に実りつつあるため,今後の研究課題への解決が大きく期待される.
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| Strategy for Future Research Activity |
(1) 現在遂行中のDr. King Leung Leeとの国際共同研究「λ-安定なトーリック多様体におけるチャウ安定性の判定法」に関するプロジェクトをいち早く完成させることを目標とする.さらに, Leeとはこの共同研究で得られた知見を足がかりに「射影トーリック多様体におけるチャウウェイトのブローアップ公式」に関するプロジェクトも始動させる.これには,代数幾何のみならずシンプレクティック幾何に関する技法も今後必要となることが予想される.
(2)自身がarXiv:2401.02010で発表した「射影トーリック多様体における数値的半安定性に関する結果」を数値的一様安定性に関する結果へと拡張させたい.実際この数値的半安定性に関する結果内容について,2023年9月に北京大学で発表し,その議論を通してケーラーリッチソリトンの第一人者であるXiaohua Zhu教授から「半安定性から一様安定性への拡張」に関する重要なアイディアを教示して頂いた. 2024年度にはこの研究課題について中国の研究者との共同研究も視野に含めながら取り組む.
(3)自身がarXiv:1711.10113においてトーリック多様体の場合に考察した, (i)デルタ不変量と呼ばれる代数幾何的不変量と(ii)greatest Ricci lower boundと呼ばれる微分幾何学的不変量の関係性について, T-variety上の議論へと拡張する.特にトーリックの場合,付随する多面体を用いた組み合わせ論的な証明法が存在する事を,既に同論文arXiv:1711.10113で示した.しかしながら,トーリックの場合,既に先行研究からこれら2つの不変量(i)と(ii)が一致することは関係者の間ではよく知られているため,インパクトに欠ける.そのため,この議論をとくにcomplexity 1 のT-varietyへと応用し,一般化を図る.
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