2023 Fiscal Year Research-status Report
Higher homotopy normality and fiberwise homotopy
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22K03317
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
蔦谷 充伸 九州大学, 数理学研究院, 准教授 (80711994)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 高次ホモトピー可換性 / 擬トーリック多様体 / 非コンパクト多様体 / 指数定理 / モノイドの分類空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は主たる課題であるホモトピー正規性についてはあまり進展させることができなかった。一方で関連する問題である高次ホモトピー可換性、非コンパクト多様体の指数理論、モノイドのホモトピー論に関していくつか進展があった。
１．多様体の基点付きループのなす空間はホモトピー論的には位相群とほぼ同じものとみなすことができる。基点付きループ空間のホモトピー論的扱いは測地線の理論などと関連し重要であるが、そのホモトピー的性質についてはまだ理解されていないことも多い。特に本研究では特定の多様体のクラスに関する基点付きループ空間の高次ホモトピー的性質を、共同研究で調べた。とくに、擬トーリック多様体とよばれるクラスの多様体に対し、通常のホモトピー可換性については完全に決定し、高次ホモトピー可換性についても完全ではないが「これ以上の高次可換性は持ちえない」ということをある程度決定した。
２．前年度に共同研究でPoincare-Hopfの定理を非コンパクト多様体に一般化したが、同様の設定でAtiyah-Singer型の指数の研究を進めている。今回は作用素の解析的な取り扱いが必要なため、少し時間がかかっているが、John Roe氏らが予想したMorse不等式の証明につながるような方針で研究を続ける予定である。
３．群の分類空間と同様の構成でモノイドの分類空間も考えることができるが、モノイドの分類空間については、任意の弧状連結空間の弱ホモトピー型が適当なモノイドの分類空間として実現できることがわかっているのみといってよく、具体例やモノイドの性質と分類空間のホモトピー型の間の関係など、わかっていないことが多い。いくつかの具体的な空間を実現するモノイドは計算機による大規模な計算なども用いつつ共同研究により発見できたが、よりまとまった結果が得られるよう研究を継続する。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
4: Progress in research has been delayed.
Reason
本年度は体調がすぐれなかったなどの問題があり、単独での研究（共同研究については意見交換の中から得られたものをまとめるなどそれなりに成果があった）や研究のための出張は十分に進めることができなかった。特に、ホモトピー正規性とイデアルの関係を明らかにすることを予定していたが、こちらについてはほとんど手を付けられていないので、次年度の課題としたい。
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| Strategy for Future Research Activity |
ここまでに記した通り、指数理論とモノイドの分類空間については研究の途上であるので、継続する。また、高次ホモトピー正規性は何らかの意味でイデアルと関係するはずであるが、そのことも明らかにしたい。
１．指数理論についてはJohn Roeの非コンパクト多様体の指数定理の精密化、Morse不等式の証明などを目指して研究を進める。有界数列のcoinvariant groupに着目するのが我々の研究の独創的な点で、今回もその方向性で進めている。
２．モノイドの分類空間についてはモノイドの表現論などの理論を援用しつつ一般論の観点から具体例をある程度のクラスで得ることを目指している。必要に応じて計算機による計算例なども見ながら、進めていく。
３．高次ホモトピー正規性とイデアルの関係は通常のホモトピー論でもある程度の結果が得られると予想しているが、有理ホモトピー論と相性が良いだろうと予想している。その観点から一般論を構築し、意義深い具体例を得ることを目指していく。
あわせて、得られた成果の国内外での発表も進めていきたい。
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| Causes of Carryover |
本年度の後半に特に体調がすぐれないことが多く、海外への出張の計画ができなかった。研究費の使用計画は大部分が旅費の予定であったため、次年度使用額が大きくなってしまった。次年度には積極的に国内外での出張を進め、成果の発表を行う。また、予想外に研究に計算能力のある計算機が必要になったため、8年間使い続けてきた古い計算機を計算能力の高いものに新調する。
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