2024 Fiscal Year Research-status Report
Higher homotopy normality and fiberwise homotopy
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22K03317
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
蔦谷 充伸 九州大学, 数理学研究院, 准教授 (80711994)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | 非コンパクト多様体 / Morse理論 / 障害理論 / モノイド |
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| Outline of Annual Research Achievements |
擬トーリック多様体上のループ空間のホモトピー可換性に関する研究を蓮井翔氏、岸本大祐氏、Yichen Tong氏と共同で行った。ループ空間が可換となるときの擬トーリック多様体のトーラス作用の商が3次元単体の積でなければならないことを示し、このような賞をもつ擬トーリック多様体は無限に存在することを示した。また、高次ホモトピー可換性はほとんど成り立たないことも明らかにした。
非コンパクト多様体上のMorse理論に関する研究を加藤毅氏、岸本大祐氏と共同で行った。非コンパクトな多様体上では指数をそのまま足し上げると発散してしまう問題があるが、本研究ではfinite propagation unitary operatorsのなす空間の研究で得られた知見をもとに、group of coinvariantsに値をとるように「指数の和」を定義すると、意味のあるMorse不等式が得られることがわかった。この結果ではMorse関数が群作用に関して不変であることを仮定しなくても不等式が成り立ち、既知のL^2-Betti数に関する結果を一般化するものとなっている。証明は熱核の手法をもちいている。
同じく加藤毅氏、岸本大祐氏とともにベクトル場の零点に関するPoincare-Hopfの定理の逆（Euler数が0ならば零点のないベクトル場が存在する）を含む障害理論の構築についても取り組んだ。こちらは位相幾何的手法によるもので、古典的な障害理論を非コンパクトな場合に一般化するものである。こちらは今後も研究を続ける。
一方で、ループ空間の一般化であるモノイドについても研究を進めている。計算機を用いてホモロジー群の計算を大量に行い、計算結果を参考に有限モノイドの分類空間に関するホモトピー型についての結果をいくつか得ている。特に球面やそのウェッジ和などが実現できた。こちらも今後も研究を続ける。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
ループ空間の研究からMorse理論の研究の方向性が示唆されるのは思いもしなかったことではあったが、順調に研究が進み、Morseの不等式の一般化などに成功した。
上記は微分幾何的な結果であるが、ループ空間のもともとの出どころであるホモトピー論への還元も障害理論などを通じて進めつつある。
ループ空間の一般化であるモノイドについても、知られていないことが多かったが、徐々にどのようなふるまいをするか明らかになりつつある。
また、今年度は国内外への出張も積極的に行い、研究成果の発信も進めることができた。
しかしながら、新型コロナや他業務の影響で前年度までに十分に出張が行えなかったため、来年度に本課題を延長し、さらに成果の発信を進める。
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| Strategy for Future Research Activity |
先述の通り、非コンパクト空間上の一様な写像の障害理論の構築を進める。障害理論の中で非コンパクト空間上の一様な写像に拡張する際に距離空間的な議論が必要な部分（Ascoli-Arzelaの定理を使うなど）が複数あるが、おおむね順調に進んでいるので来年度中に研究成果をまとめることができると考えている。
モノイドの分類空間についても計算機による計算結果も増やしつつ、理論的に重要な成果を見出す作業を続けている。特に「単連結有限複体のホモトピー型は有限モノイドの分類空間で実現できるであろう」というFiedorowiczの予想がどのくらい成り立つのかを調べていきたい。
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| Causes of Carryover |
新型コロナの影響でいくつかの出張が延期されたことが大きい。また、他業務の影響による体調不良から見送った出張もあった。次年度にはカナダのトロントへの出張を行う予定があり、他にも国内外への出張を行いたい。
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