2023 Fiscal Year Research-status Report
曲面の写像類群による高次元シンプレクティック多様体の組み合わせ的研究手法の確立
Project/Area Number |
22K03320
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Research Institution | Keio University |
Principal Investigator |
早野 健太 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 准教授 (20722606)
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Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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Keywords | レフシェッツ束 / 写像類群 / ブレイドモノドロミー |
Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は複素射影平面内のカスプつき曲面のブレイドモノドロミーと,4次元多様体上のレフシェッツペンシルのモノドロミーから定まる,6次元シンプ レクティック多様体を調べるための基礎を確立することである.本年度は昨年度に引き続き,これらのモノドロミーの情報と,対応する多様体の位相不変量との関係を調べる試みを行った. 技術的な理由で,複素射影平面内のカスプつき曲面とレフシェッツペンシルを考えるより,ヒルツェブルフ曲面内のカスプつき曲面とレフシェッツ束を考える方が容易なので,本年度はまずそれらのモノドロミーから6次元シンプレクティック多様体を構成することを試みた.なお4次元の場合と同様,前者をブローアップすると後者を得ることができることに注意する. 昨年度に得られた成果により,ブレイドモノドロミーを,レフシェッツ束のファイバーを保つ微分同相写像のイソトピー類に持ち上げることができたが,本年度はその結果を用いて6次元多様体およびそこからヒルツェブルフ曲面への写像で,臨界値集合が与えられたブレイドモノドロミーを持つカスプつき曲面となり,ヒルツェブルフ曲面のファイバーの逆像が,与えられたモノドロミーを持つレフシェッツ束となるものを与えることができた.さらに得られた写像にGompfの手法を適用することにより,6次元多様体の概複素構造およびシンプレクティック構造で,ある意味で与えた写像に適合するものを得ることができた.
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Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
当初の予定では昨年度中に行う予定であった,モノドロミーの情報と6次元多様体の位相不変量との関係の決定は未だできていないが,計画にあった6次元多様体の構成は完遂することができた.また今後得られた6次元多様体上の擬正則写像に対し,Thom多項式の理論を適用することにより,モノドロミーの情報と6次元多様体の位相不変量との関係を調べる予定であるが,そのために必要な補題はある程度示すことができている.以上のように,予定通りには進んでいないものの進展は確かにあり,また今後の見通しもある程度はたてられているため,「やや遅れている」とした.
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Strategy for Future Research Activity |
本年度においてモノドロミーの情報から6次元多様体,その上の概複素構造とシンプレクティック構造,およびモノドロミーの情報を反映した擬正則写像を構成することができたので,来年度はまず当初の予定通り,この写像にThom多項式の理論を援用することで,モノドロミーの情報と6次元多様体の位相不変量との関係を明らかにする.また本年度はヒルツェブルフ曲面上のカスプつき曲面とレフシェッツ束を扱ったが,これらから得られる6次元多様体を適切にブローダウンすることにより,本来の目的であった複素射影平面上のカスプつき曲面とレフシェッツペンシルも扱えるよう,得られた構成をさらに詳しく調べる予定である.
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Causes of Carryover |
本年度は得られた成果が不十分であり,発表できるまでに至らなかった.特に当初研究発表や情報交換のために用意していた旅費を使用することがなかったため,次年度使用額が生じた.また本年度は研究計画時点で想定していなかった他の業務に従事することになり,そちらにエフォートを割くことを余儀なくされたため,情報収集のための出張も十分の行うことができず,旅費として用意していた予算が余ることとなった. 次年度は現時点で得られている成果をいくつかの研究集会で発表する予定であり,そのための旅費として使用する予定である.また得られた成果を踏まえて共同研究者と研究打ち合わせをする予定であるが,そのための旅費としても使用する.さらに研究推進のために必要な書籍も新たに購入する予定である.
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