2022 Fiscal Year Research-status Report
Research on holomorphic mappings of Riemann surfaces --- Geometry of spaces of continuations of Riemann surfaces and applications
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22K03356
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| Research Institution | Yamaguchi University |
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Principal Investigator |
増本 誠 山口大学, 大学院創成科学研究科, 教授 (50173761)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
柴 雅和 広島大学, 先進理工系科学研究科(工), 名誉教授 (70025469)
中村 豪 愛知工業大学, 工学部, 教授 (50319208)
増本 周平 愛知工業大学, 工学部, 講師 (30803861)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | リーマン面 / 等角写像 / 圏 / タイヒミュラー空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Ｒを把手の数，すなわち種数ｇが有限な開リーマン面とする。Ｒを等角に埋め込ませる同種数の閉リーマン面全体の集合をタイヒミュラー空間の枠組みで考察し，多くの成果を得てきた。では，ｇより大きな整数Ｇを選び，Ｒを等角に埋め込ませる種数Ｇの閉リーマン面全体の集合はどのような性質をもつであろうか。この問題を考察するのにふさわしい枠組みの構成を試みた。タイヒミュラー空間の点はリーマン面ではなくリーマン面と写像の組の同値類であるため，ＲからＳの中への連続写像の意味を明確にするために，以前の研究においては，種数ｇのリーマン面ＲとＲの把手に印を付けるある種の写像の組全体を考え，それらの同値類を対象とし，適切に定義された連続写像を射とする圏を導入した。種数ｇのタイヒミュラー空間はそれの充満部分圏として規定される。この考え方を一般化し，種数Ｇのリーマン面ＲとＲのＧ個の把手の中からｇ個を選んで印を付ける写像の組から圏を構成した。この圏は完備擬距離付け可能かつ可分である。擬距離０の元を同一視することにより，可分な完備距離付け可能空間Ｆが得られる。Ｆは圏ではないが，研究を展開する枠組みとしてふさわしいように思われる。Ｆの元のうち，種数Ｇの閉リーマン面から得られる点の集まりをＴとかく。Ｇがｇに等しいとき，Ｔは種数Ｇのタイヒミュラー空間と同相である。一般の場合，Ｔの普遍被覆空間は種数Ｇのタイヒミュラー空間になり，被覆写像が正則になるようにＴに複素構造を導入することが示された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究の枠組みの候補Ｆが明確になったから。Ｆが特異点を持たず，複素多様体になることが分かったことは重要な成果である。
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| Strategy for Future Research Activity |
種数ｇの開リーマン面を等角に埋め込ませる種数Ｇの閉リーマン面の全体がＦのどのような部分集合であるか調べる。その位相的性質や境界点の特徴付けなど調べてみたい課題が多くある。Ｇとｇが等しい場合に得られた結果をヒントに研究を進めていくことになろう。
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| Causes of Carryover |
コロナ禍のため，計画していた中国での研究集会が開催できなかった。翌年度は，中国を訪問するか，または，海外から専門家を招聘し，国外の専門家との研究打合せをすることにより研究の進展に結びつけたい。
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