2023 Fiscal Year Research-status Report
Mathematical analysis of submodular set functions and its application to stochastic ranking model
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22K03358
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
服部 哲弥 慶應義塾大学, 経済学部(日吉), 教授 (10180902)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| Keywords | 確率論 / 数理科学 / 測度論 / 数理統計学 / モジュラー集合関数 / 非加法的測度 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は長年にわたる一連の科研費研究の成果を土台として，広く数理モデルに対するより良い数学的な理解を得るための基礎付けを目指す．具体的な目的の1つとしてデータへのモデルの当てはめの論理に関連する非加法的測度を測度論の一般化の枠組みの中でとらえることを目指す．
過去の関連する科研費研究で発見した，オンラインストアの売り上げランキングなどの数理モデルとなる確率順位付け模型は．通常は現実の現象として観測できないような数学的抽象度の高い繊細な性質にも関わらず，くりこみ群の描像でいう普遍性によって実際に観測された．見方を変えると，個別の現実現象の特徴は普遍性の破れとしてしか観測されないのでデータに基づいて検出するためには精密な解析を要する．そのようなデータ解析の数学的な構造を整理するために，非加法的測度の測度論に立脚した枠組みを作り，その中で精密な結果を探すことが冒頭の段落の目的の1つの具体化である．
昨年度はアウトリーチも意識して数理統計学の初等教科書を執筆し本年度は推敲を済ませた．出版社の判断が定まらず，ごく最近ようやく前向きな連絡が届いたところで，出版の成否は紆余曲折が確実である．それでも測度論に基づく確率論に基づく統計学という高度な数学的構造の基礎事項を初級教科書として整理した経験は本研究にとって意義がある．
さらに本年度は，劣（優）モジュラー集合関数と呼ばれる，非加法的測度の中で特に性質の良いものをコアと呼ばれる測度の上（下）限で表す既知の重要な公式について，ある性質を持つ可測空間では上（下）限を各点（各集合）ごとに実現する測度がただ1つ定まることを発見した．これまで多くの研究は条件を緩める方向に向いていた模様で，測度に近い特殊なクラスに限定して唯一性のような強い結論を初等的に得る研究は少なかった模様である．これも出版の成否は予断を許さないが，査読者の見解は好意的に見える．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
非加法的測度は広汎な分野で長く研究されてきた題材であるいっぽう，研究に携わったのは今回が初めてなので，既知事項と未知事項を見極めて将来的に意義のある未研究の内容を見いだす困難は当初から予想されていたところであるが，測度に近い非加法的測度（において強い結果を得る）という問題設定は長い研究史の中で盲点であった気配がある．応用と数学の接点にある題材なのでどこでどのような研究があるかわからないことから引き続き研究の方向性や進捗に対する評価は慎重に確かめる必要があるが，良い問題意識を設定できている可能性が出てきた．
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| Strategy for Future Research Activity |
さいわいに新しい問題意識に手が届いているとしても，測度論には数学基礎論に関わる基礎的な厳しい難所があり，既にそのような専門的な困難もこれまでの研究の中で見えている．また，この問題設定で意味のある強い結果が得られるか否かも五里霧中の段階である．教科書出版や論文査読の結果が肯定的ならばという仮定の話ではあるが，進捗状況の理由に記した認識が正しければ，暗闇の中で一歩前に進んだ可能性があり，当初の目標どおり，非加法的測度についての数学的研究を続ける．
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| Causes of Carryover |
不調のパソコンを買い換えて研究を続行する予定だったところ，昨今の急激なインフレで，パソコンの買い換えも高額になっているため今年度は購入を見送ったことが繰り越しが生じた主な要因である．現在，不調のパソコンをだましだまし使い続けているが研究遂行への影響が増大しているので，近いうちに買い換える予定である．
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Research Products
(2 results)
