鏡像原理を使った固有正則写像の正則拡張問題の研究

2022 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 22K03364
• Research Institution: Nagano National College of Technology
• Principal Investigator: 林本 厚志 長野工業高等専門学校, リベラルアーツ教育院, 教授 (90342493)
• Project Period (FY): 2022-04-01 – 2027-03-31
• Keywords: 固有正則写像 / 複素擬楕円体 / ディリクレ問題

Outline of Annual Research Achievements

報告者の先行研究で次の定理がある。「次元の異なる複素擬楕円体の間の固有正則写像で、境界を越えて正則的に定義域を拡張できるものが存在すると仮定する。この時次元についてある条件を満たせば、そのような写像は、定義域と値域の自己同型群の差を省いて分類することができる。」この定理に現れる「境界を越えて正則的に定義域を拡張できるものが存在する」という仮定が必要かどうかを調べたい。つまり、そのような複素擬楕円体の間の任意の固有正則写像は、境界を越えて正則的に拡張出るか否かを調べたい。もし定義域と値域の次元が同じであれば、Diederich-FornaessやBelll-Catlinの定理により、そのような複素擬楕円体の間の固有正則写像は正則的に拡張できることが分かっている。それを次元を異なる場合に拡張することがこの研究の目標である。領域の次元が同じ場合の研究は、先行研究が多くあるのに対して、次元が異なる場合の正則拡張定理はまだ研究は多くない。それはいくつかの反例があるからだと思われる。
該当年度においては、次元の異なる複素擬楕円体の間の固有正則写像で、連続的に定義域を拡張できるが、可微分には拡張できないものが構成できると予想され、それの構成を行っている。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

該当年度では、この研究に関する先行研究を詳細に調べ、しかるべき予想を立てることを目標としていた。実際令和4年度は多くの文献を調べることができ、ある程度確からしい予想を立ててその証明方法の道筋を得ることができた。よって、研究計画としては、おおむね順調と思われる。

Strategy for Future Research Activity

令和５年度は、4年度に立てた予想を証明することが目標となる。証明の方針は次のようである。任意に与えられた閉円盤状の連続写像に対して、ディリクレ問題を解いてその共役な調和関数で、閉円板の境界上で不連続な調和関数を得る。これにより、円板上で正則で境界までは正則に拡張できないものが得られる。これを初期条件として、新しい関数を構成して少しづつ元の関数にたすことで、極限として求めたい固有正則写像を得る。球の場合にはこれらの議論はうまく行えるので、これを複素擬楕円体の場合に拡張することが子年度の目標である。

Causes of Carryover

第一の理由はコロナの状況により、研究集会が中止またはオンライン開催になったことである。しかし令和５年度はそのようなことがなくなる様子であるため、多くの研究費が必要となる。夏には毎年行われる国際研究集会である「Hayama symmposium」冬に行われる「多変数関数論冬セミナー」日本数学会の春と秋の学会、秋に行われる「函数論シンポジウム」に参加する予定である。また、毎週月曜日に東京大学大学院数理学研究科で行われる「複素解析幾何学セミナー」に不定期に参加する予定である。これらの旅費として多くを使用する予定である。
また、令和4年度の研究は2023年度までの科研費の研究と重複するところがあり、そちらの研究費を使っていたことも次年度使用額が生じたことの理由である。