2022 Fiscal Year Research-status Report
On some nonlinear reaction diffusion equation arising in population genetics
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22K03369
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| Research Institution | Tokyo University of Marine Science and Technology |
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Principal Investigator |
中島 主恵 東京海洋大学, 学術研究院, 教授 (10318800)
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2022-04-01 – 2027-03-31
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| Keywords | 反応拡散方程式 / 特異摂動問題 / 遺伝子頻度 / 遷移層 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究論文Bifurcation structure of an indefinite nonlinear diffusion problem in population geneticsではここ数年に引き続き上記の遺伝子頻度モデルを扱う．昨年度までの研究では求める解が遺伝子頻度であるため0から1までの解が興味の対象であった．しかし研究を進めるにしたがって0と1の間の定常解の全体像を明らかにするためには自明定常解 $u=1$からの非定数定常解の分岐構造を調べることが可欠になることに気づいた．u=1 からの分岐問題の重要性はFeltrin-Sovrano，Izuharaなどの数値実験の結果などからも裏付けられる．このような生物学的な意義に加え，数学的な意義は次のようである．非線形項が符号を変えるようなロジスティックタイプの方程式の正値定常解の分岐構造を研究は1970年代から国内外でさかんに行われてきた．非線形項が符号を変えない場合には,数えきれないほどの先行研究があるが，非線形項が符号を変える場合には変えない場合に比べて国内外でも研究が始まったばかりと言ってよく，その解の挙動は数学的にも複雑で興味深い．
同論文では以下のことを証明した．定常解 u が n 回 1を横切るとき，モードnの解と呼ぶことにする．拡散係数を小さくしていくと定数定常解 $u=1$ からモード1の解，モード2の解・・・が順に分岐することが示される．この分岐の枝の解はモードを変えず，大域的に存在する． モード $n$ の解 $u$ は(境界を含めると）n+2個の極点を持ち，uが1を横切る点と極点は交互に現れる．
さらに拡散係数が十分小さいときには，uが１を横切る点（u-1の零点）は境界点，あるいは非線形項が符号を変える点の付近のみに現れることが証明され，モードnの解の詳細な形状が明らかになった．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
以下の目標を達成するために研究を進め論文を作成中であること．
(ア)本方程式の非定数定常解の一意性に関するLou-Nagylaki予想(2002)に関し，申請者(2016)はある条件下で同予想が真であることを証明する一方，申請者Su(2020)は異なる条 件下で同予想の数学的反例を構成し，同予想が偽であることを証明した．実際の遺伝現象において同予想は実現されると考えられる．さらに研究を進め，同予想が成立するための不均 質性の数学的特徴づけを行い，不均質環境が遺伝子に与える影響のメカニズムを解明する．
(イ) 本方程式に積分平均の項で表されるパンミクシーの効果を加えた新たな方程式を考え る．拡散，不均質性，積分平均の３つの要素が定常遷移層に与える影響を解明する．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は今まで考えてきた方程式にパンミクシーの効果を加えた方程式，拡散効果，不均質性に加え積分平均の効果を考慮する場合，３つの要素がつり合いを保って形成する定常遷移層について研究をすすめる．
研究２. 積分平均の項の係数ｂが微小でない場合に非定数定常解を構成し，定常解の形状を調べる．さらに安定性，一意性などの性質を研究する．F. Li, K.Nakashima, W. Niではこの研究に先立ち，微小な拡散係数と微小なパンミクシーの効果にたいし非定数定常解が存在することを証明しているが，本研究では拡散係数は微小だが，パンミクシーの効果の項の値は比較的大きい場合に遷移層をもつ定常解を構成し，その遷移層の位置，安定性などの性質を明らかにする．定常解の構成に関しては次のような方針で研究を進める．はじめに方程式は順序保存系となっていることを示す．これにより比較定理が適用可能となる．さらに定常解の評価を用いてより解析しやすく優劣解となりうる方程式(Q)を見つける．(Q)の定常解は接合漸近展開を厳密化する方法で構成する．この方法により比較的大きなパンミクシーの効果に対し遷移層を持つ定常解を構成することが可能になる．
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| Causes of Carryover |
感染症の流行により出張などを延期したため。
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