2022 Fiscal Year Research-status Report
交差拡散を伴う数理生物学モデルの近平衡系に対する解析基盤の構築
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22K03379
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
久藤 衡介 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (40386602)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 交差拡散 / 安定性 / 固有値 / モース指数 / 分岐 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
有界領域で縄張り争いをする２種類の生物種の個体群密度の時空的変化を記述する偏微分方程式として、ロトカ・ボルテラ競争系に各種のランダム拡散と種間の拡散の相互作用を加味したモデルが重定・川崎・寺本によって提唱されている(1979)。このモデルは拡散の相互作用のプロトタイプとして研究が続けられており、現在では、提唱者に因んでSKTモデルとよばれている。とりわけ交差拡散とよばれる異種間の拡散相互作用が解構造に与える影響を明らかにしようとする立場が、SKTモデルの研究の主流の一派といえる。
前段の研究課題においては、ディレクレ境界条件の下で両種の交差拡散係数を無限大とする操作（両方交差拡散極限）によって、定常解の成す大域分岐枝は、両方の種がほぼ同じ形状で少数ながら共存する状態の枝（少数共存）と競争種同士がほぼ完全に棲み分ける状態（完全棲み分け）の枝に分類されることを示した。
当該年度の研究においては、それぞれの枝に対応する定常解の線形化安定性の判定を行った。結果として、すべての枝に対応する正値定常解は線形化不安定であることが分かった。より詳しく、片方の種のみが生き残る半自明解が線形化安定であり、半自明と同時に自明解から分岐する少数共存解は、完全棲み分けの枝が二次分岐を起こすまではモース指数が１の意味で不安定であることが示された。少数共存解から最初に二次分岐を起こす完全棲み分けの解の枝にモース指数１の性質が転移し、その二次分岐点以降では少数共存解はモース指数２の意味で不安定性を増していることが分かった。さらに、少数共存解の枝をたどると、棲み分けのテリトリーを増していく完全棲み分けの枝が次々と分岐していくが、分岐点ごとにモース指数の不変性は棲み分け解の方に受け継がれ、少数共存解はモース指数を１ずつ増加させていく構造が明らかとなった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究課題の目標は、SKTモデルにおいて定常解のスペクトル解析や非定常解のアプリオリ評価を通じて、定常解を取り巻く非定常解の大域漸近挙動を明らかにすることである。その足掛かりとして、研究計画書においては、交差拡散極限の定常解の大域分岐枝を両方の交差拡散係数が大きいケースに摂動し、各定常解のモース指数を調べることを想定した。
当該研究では、前段の研究課題で得られたディレクレ境界条件下の両方交差拡散極限の大域分岐枝に対して、両方の交差拡散係数が大きいケースへの摂動に成功し、さらに構成された摂動解の大域分岐枝に対してモース指数の不変性は分岐点ごとに対称性を破壊する方向に受け継がれる性質を示した。当初計画においては、ディレクレ境界条件の設定はノイマン境界条件の設定より分岐構造が複雑になる分、摂動や定常解のスペクトル解析が困難なることを想定しており、成果はこの想定を大きく上回っている。
一方で、ノイマン境界条件下の両方交差拡散極限においては、前段研究課題において定数解からピッチフォーク分岐する不完全棲み分けの分岐枝が空間１次元のケースで構成されているものの、その分岐枝が両方の交差拡散係数が大きいケースに摂動されるかどうかは未だ証明に至っていない。当初計画では、ディレクレ境界条件下の解析より先にノイマン境界条件の解析が進む想定であったので、その意味でやや計画より遅れている状況にある。総じて、当該研究はおおむね順調に進展していると言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
ディレクレ境界条件のおいて両方の交差拡散係数が大きいとき、それぞれの定常解の近くで、非定常解の時空的な振る舞いを力学系の見地から明らかにする。その際、本研究課題の初年度において得られた各定常解のモース指数が、不安定多様体の次元と等しいことの証明を与え、アトラクタ次元などの非定常解の隷属的性質の指標にどのように関わってくるかを考察する。
また、不安定多様体の方向を規定するのは、不安定固有値に対応する線形化固有値問題の固有関数であるが、とりわけ完全棲み分けのケースでは、棲み分けが破綻する空間的な駆動が固有関数の形状で決定づけられている可能性が高い。この仕組みを準線形放物型方程式に対する力学系的議論から明らかにするとともに、空間１次元のケースにおいては固有関数の形状を引き出す。
ノイマン境界条件においては、両方交差拡散極限からの摂動によって、両方の交差拡散係数が大きいケースの大域分岐枝を構成することを２年目の目標とする。不完全棲み分けに対応する極限系の非線形項の複雑さから難航が予想されるが、分岐点周辺での解析を足掛かりにするといった柔軟な姿勢で臨みたい。やはり、定常解の分岐構造と非定常解のアプリオリ評価を組み合わせて、SKTモデルの非定常解の時間大域挙動を定常解周りで詳しく解析する。
SKTモデルの交差拡散極限に対しては、前段の研究課題を継承して概ね順調に研究成果を文献報告しているが、コロナの影響から国際的な研究集会での発表は少ない状況にある。コロナの影響が軽減される傾向にあるので、積極的に口頭発表の機会を増やしていく。また必要に応じて、SKTモデルやその周辺分野の研究集会を企画し、当該研究課題の推進の一助としたい。
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| Causes of Carryover |
コロナ感染拡大の影響が残る年度にあって，初期成果発表を予定する国際研究集会であるAIMS Conference が次年度での開催となり，その旅費での支出が合理的運用と判断した．当初の次年度予算計画と併せて使用する計画である．
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