2023 Fiscal Year Research-status Report
Geometric analysis of partial differential equations and inverse problems
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22K03381
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
坂口 茂 東北大学, 情報科学研究科, 名誉教授 (50215620)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | 優決定障害問題 / 球対称解の安定性 / Serrinの平面移動法 / ラプラス作用素 / 斉次ノイマン境界条件 / 固有値 / 平面凸領域 / 形状最適化問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
昨年度に引き続き, 研究の目的は偏微分方程式で記述される問題の解の幾何学的性質の探求を主眼に, 偏微分方程式を介在として, 近年発展の目覚ましい幾何解析と逆問題の視点を有機的に結びつけ, それらをより一層発展させることである。本年度の主な研究成果は以下の２つである。共に国際共同研究である。
(1) 球対称な障害に対する2種の優決定障害問題の対称性を示したことである。一つは Serrin 型の問題, つまり, 境界上で解の法線方向微分が一定となる優決定条件を扱い, 比較定理のみを用いることにより球対称解の安定性も示した。もう一つは二相導体に対する優決定障害問題の対称性をSerrin（1971年)の平面移動法により示した。後者の場合は界面上で解が一定となる優決定条件を導入した。これらの成果はコーネル大学の arXiv にプレプリントとして公開すると同時に学術雑誌に論文を投稿中である。
(2) 平面凸領域の斉次ノイマン境界条件下でのラプラス作用素の固有値は一般に凸領域の包含関係についての単調性を持たないことがよく知られているが, このことに関連した二つの形状最適化問題（内部問題と外部問題）を導入し, 解の存在,定性的性質,数値解析の端緒となる成果を得た。与えられた自然数 k に対して, 内部問題は与えられた平面凸領域 D に対して, Dの部分凸領域で第k固有値を最小にする凸領域を求めるものであり, 外部問題は D を含む凸領域で第k固有値を最大にする凸領域を求めるものである。これらの成果もコーネル大学の arXiv にプレプリントとして公開すると同時に学術雑誌に論文を投稿中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
優決定境界値問題の研究は多いが, 本研究のような球対称な障害に対する優決定障害問題は扱われて来なかった。前者はその端緒となる成果である。また, 斉次ノイマン境界条件下でのラプラス作用素の固有値の性質は斉次ディリクレ境界条件下に比べて未知なことが多く, 後者もその端緒となる成果である。共に幾何解析の新展開であり, 今後の発展が十分期待される。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究は海外研究協力者たちとの国際共同研究による。今年度得られた成果は共に本研究計画調書で述べた海外研究協力者たちを含む研究者たちとの国際共同研究の成果である。今後もこのような国際共同研究を推進する。
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| Causes of Carryover |
購入予定であった専門書の出版が遅れたため, 次年度に購入する。
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