2023 Fiscal Year Research-status Report
Asymptotic analysis on PDEs appearing in mean field games, crystal growth and anomalous diffusion
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22K03382
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
三竹 大寿 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (90631979)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | ハミルトン・ヤコビ方程式 / カプトー型時間分数冪偏微分方程式 / 非局所界面運動 / 凸型保存性 / 固定端界面運動 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
令和５年度は，(テーマ１) 時間分数べきハミルトン・ヤコビ方程式の均質化理論，（テーマ２）非局所界面運動の凸型保存性，（テーマ３）固定された箇所をもつ界面運動に対する等高面法について，幾つかの結果を得ることができた．テーマ１では，時間微分としてカプトー型時間分数冪微分を考えたハミルトン・ヤコビ方程式に対して，均質化問題について考察した．十分小さいパラメータに対して周期的に振動する係数を持つような同方程式に対して，その解が収束することと，収束率に関する結果を得た．この時間分数冪方程式は，例えば土壌中の汚染物質の拡散など，不均質な媒体での拡散現象を記述する方程式として理論と応用の双方から注目を集めている．テーマ２では外力付曲率流で，特に外力が界面に囲まれる面積に依存するといった，非局所界面運動を動機に，対応する等高面方程式を含む完全非線形偏微分方程式の解の凸型保存性について証明することに成功した．テーマ３では，動く曲面の一部が固定されている運動を考え，固定されていない部分は平均曲率流に従って動くという問題について考察した．幾何的には大変自然な問題ではあるが，古典解の枠組みを超えた弱解を等高面法で構成することは難しかった．既存の研究では偏微分方程式のDirichlet問題として構成したが，これは初期界面と固定端が一つの強凸型領域に含まれている場合のみ扱うことができた．さらにこの方法では，先天的にはこの界面は強凸型領域に依存しうるが，この点は当初の問題からすると不自然である．この研究では同問題を障害問題として捉えて，既存の結果との同値性を得ることができた．さらに，系として強凸型領域の非依存性も分かった．以上の結果を研究論文としてまとめ，テーマ１，２については査読付国際雑誌に受理され，テーマ３については投稿中である．また，これらの結果を幾つかの国際研究会で発表した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
時間分数べきハミルトン・ヤコビ方程式の均質化問題の解の収束性と収束率について期待されていた結果を得ることができた．非局所界面運動の凸型保存性についても概ね期待されていた結果を得ることができた．固定端界面運動については初め考えていた以上に難点が現れたが，妥当な帰結を定めてまとめることができた．以上の進捗状況をおおむね順調に進んでいると判断した．
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| Strategy for Future Research Activity |
令和6年度は，令和5年度に研究途中である，スパイラルを記述する方程式の漸近速度に関する研究や，燃焼モデルに現れるG方程式の分岐現象について研究を進展させることを目標とする．研究打ち合わせを目的とした海外出張や海外研究者の招聘，国際研究集会の開催などを計画して研究を推進，活発化していきたい．
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| Causes of Carryover |
次年度に国際研究会を開催することを決め，そのために次年度に予算を部分的に残した．
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