2022 Fiscal Year Research-status Report
流体力学における数値解法の数学解析と解析力学における古典KAM理論の数学解析
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22K03391
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
曽我 幸平 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 准教授 (80620559)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| Keywords | 線形輸送方程式 / Navier-Stokes方程式 / 非一様非圧縮性流体 / 弱解 / 有限差分法 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
流体力学において、Navier-Stokes方程式と線形輸送方程式の連立系は非一様非圧縮性流体(密度が定数でない非圧縮性流体)や自由境界を伴う二相流体の基礎方程式として現れる。線形輸送方程式は、方程式の構造は極めて単純であるものの、係数として現れる速度場の滑らかさが悪くなると非自明な問題になる。速度場がNavier-Stokes方程式の弱解である場合、Sobolev空間の元を係数とする線形輸送方程式を解かなくてはならない。その数学的基礎理論はDiPerna-Lions(1989年)による。当該年度の研究において、Navier-Stokes方程式と線形輸送方程式の連立系の弱解を有限差分法で構成するための基礎研究を行った。同連立系を有限要素法・有限体積法で取り扱う先行研究が知られているが、有限差分法による数学解析は知られていない。具体的には以下の成果が得られた。これらの結果は専門学術誌に投稿中である。
(1) Sobolev空間の元(非有界)を係数とする線形輸送方程式の弱解を有限差分法(古典的な陽解法および陰解法)で厳密に構成した。また係数が滑らかな場合に、陽解法の収束と誤差評価を解およびその2階導関数まで与えた。
(2)この結果を応用して、非一様非圧縮性流体の弱解を有限差分法で厳密に構成した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Navier-Stokes方程式と線形輸送方程式の連立系の数値解析的研究において、Sobolev空間の元(非有界)を係数とする線形輸送方程式の解析は極めて重要である。当該年度の研究では最も基本となる部分が解明され、さらにそれを非一様非圧縮性流体の問題に応用することもできた。以上より本研究課題は概ね順調に進展していると判断する。
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| Strategy for Future Research Activity |
当該年度で得られた結果をNavier-Stokes方程式の二相問題に応用する。二相問題に現れる自由境界をlevel-set methodで取り扱うと、level-set関数は線形輸送方程式の解になる。この問題では、自由境界の幾何学的構造(単位法線ベクトル場、平均曲率など)が必要となる。これらの構造を弱解の範疇で取り扱う研究は知られているが、その数値解析的方法の数学解析は知られていない。今後の研究では、有限差分法によって二相問題の弱解を構成することに挑戦する。
Navier-Stokes方程式と[線形輸送方程式+粘性項]の連立系で表される流体モデル(Kazhikhov-Smagulovモデル)が知られている。このモデルについて、高次の非線型項を無視する近似あるいは粘性係数を定数にする単純化の下で、数学解析が行われている。今後の研究では、同モデルについて、このような近似・単純化をしない数学解析を完成させる。
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| Causes of Carryover |
社会情勢の影響により、計画していた出張等がキャンセルとなったため。翌年度の助成金と合わせて研究遂行のための物品費(数値計算用ソフトウェア、図書、PC周辺機器など)および出張旅費(研究討論、情報収集、成果報告、学会参加、招聘など)として使用する計画である。
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