特異積分と関数空間の研究(多重線形作用素の理論の深化)

2022 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 22K03393
• Research Institution: Tokai University
• Principal Investigator: 古谷 康雄 東海大学, 理学部, 特任教授 (70234903)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 澤野 嘉宏 中央大学, 理工学部, 教授 (40532635) ; 松山 登喜夫 中央大学, 理工学部, 教授 (70249712)
• Project Period (FY): 2022-04-01 – 2025-03-31
• Keywords: 特異積分作用素 / ハーディー空間 / 局所ハーディー空間 / クリフォード代数

Outline of Annual Research Achievements

研究課題の一つである「特異積分作用素の様々な関数空間上での有界性」に関して長年研究を続けてきた．合成積の形で表されていない一般化された特異積分作用素は様々な応用のある重要な作用素である．このLp空間上の有界性は「T1定理」という美しい理論が既に知られていた．一方ハーディー空間上での有界性に関してはハーディー空間の特殊性から「T1=0」というとても強い条件の下での有界性しか知られていなかった．しかしこの条件は特異積分作用素の形にとても強い制限を加えており，応用範囲が非常に限られてしまっていた．我々はその条件を弱めた「T1がリプシッツクラスに属する」という条件の下での有界性に関する定理を2002年に証明した．
この定理を重要な作用素に応用することを目標にしてきた．まずカルデロンの交換子作用素に応用できることが分かった．さらに複素関数論とも結びつきの強い重要な作用素で，カルデロンの作用素が導出された起源となるコーシー積分作用素については新たに「Tb定理をハーディー空間に応用する」という新しいアイデアの下で応用できることが分かった．
今回は長年の懸案であったこれらの作用素のn次元版であり，偏微分方程式とも結びつきが深い「2重電気層ポテンシャル作用素のハーディー空間から局所ハーディー空間への有界性」を証明することができた．この証明にはクリフォード代数上のハーディー空間を新しく定義して，その上で理論を作り，そのベクトルの第一成分が通常のハーディー空間になることを使って目標の定理を証明した．

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

目標の一つであった「2重電気層ポテンシャル作用素のハーディー空間上での有界性」が証明できた．もう一つの目標の多重線形特異積分作用素に関しては新たに見つけた研究課題であるextrapolation theorem に関する研究が順調に進んでいる．

Strategy for Future Research Activity

Rubio de Francia のextrapolation theorem に関して, Lp-Lq 型，定義域制限型，多重線形型という様々な発展方向があり，これらを統一した理論を構築中である．

Causes of Carryover

研究旅費に充てる予定であったが，コロナの影響で予定していた研究集会がオンライン開催となったため，旅費を使うことができなかった．