2023 Fiscal Year Research-status Report

Study of combinatorial structure of simplicial complexes from partitions of nonpure complexes

Research Project

Project/Area Number	22K03399
Research Institution	University of Tsukuba
Principal Investigator	八森正泰筑波大学, システム情報系, 准教授 (00344862)
Project Period (FY)	2022-04-01 – 2025-03-31
Keywords	単体的複体 / 分割可能性 / partitionability / h-triangle
Outline of Annual Research Achievements	本研究は、トポロジー的組合せ論の基礎としての単体的複体の組合せ構造の研究、特に、nonpureな単体的複体のpartition構造の複雑な様相や関連する諸性質のobstruction構造を中心に単体的複体の組合せ構造を深く調べることを研究課題としている。研究の2年目の本年度は、nonpureな単体的複体がpartitionableであるときのh-triangleの満たす性質について掘り下げた。ここで、単体的複体がpureとは極大な面（ファセット）がすべて同じ次元であるもの、nonpureはそうでないものを指す。Pureな単体的複体についてはh-vectorが非負になるという基本的性質を持つが、nonpureな場合はこの性質は壊れ、h-vectorのnonpure版であるh-triangleも非負とは限らない。本研究課題の発想のベースとした先行研究である研究代表者自身の2021年の論文においては、nonpureな単体的複体のpartition構造として4種類を提案しているが、このうちの最も強い性質である「h-compatibly partitionable」と「layer-compatibly partitionable」は等価であり、かつ、h-triangleが非負であることが保証される。また、2016年の論文（査読なし）において、partitionableな単体的複体が満たすh-triangleの非負性を緩和した性質を議論している。本年度の研究においては、この間に位置する2種、「sequentially partitionable」と「ps-partitionable」の満たすh-triangleの性質を議論するとともに、これらの種々のh-triangleの性質間の関係を明確にした。また、昨年度行ったのEhrhart多項式の研究も進めた。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 本年度は3年間という短期間での研究の過程の中での2年目にあたる。初年度は進捗が「やや遅れている」としたが、その中でも計算機環境の整備や単体的複体のpartitionability判定プログラムの一般次元化を終えており、種々の例を確認する際の道具となった。これを利用することにより、「layer-compatibly partitionable」とpartitionableの満たすh-triangleの性質と、これらの間に位置する「sequentially partitionable」と「ps-partitionable」に対応するh-triangleの性質との関係を明確化するにあたり、ギャップを示す具体的な例をスムーズに探ることができた。本年度の進展により、残り1年を残し、形の残る結果の核となる部分を得ることができた。初年度に検討していた格子多面体のEhrhart多項式や半順序集合に付随する多面体の構造についての研究については、まだnonpureな単体的複体の構造に関する研究に結び付く糸口を見出しておらず、これはこの3年間の研究の中では終着点に到達しない見通しであるが、これ自体は本研究課題においては追加的な派生部分であり、上述のように本体部分が進展していることを以て本研究課題の進捗として概ね順調に進展していると見てよいと考える。
Strategy for Future Research Activity	本研究の3年間の研究期間のうちの2年間を終え、次年度が本研究課題の最後の1年間となる。まずは、2年目までに得た研究結果を成果として論文の形にまとめることを1つの目標とする。この他、本研究課題にはまだ残されている事柄がいくつかある。1つは、obstructionとの関連の部分。本研究課題の計画においては、nonpureな単体的複体のpartition構造に加えて、obstructionに関する研究との融合も挙げていた。Obstructionとは、その単体的複体自体は性質Pを満たすが頂点の真部分集合への任意の制限は性質Pを満たすものである。現在本研究課題で得ているnonpureな単体的複体のpartition構造に関する議論をこのobstructionの理論に結び付けていくことも残された時間の中でできるだけ進めてみたい。また、進捗のところにも記載したが、初年度に検討していた格子多面体のEhrhart多項式に関する議論はまだ本研究課題に結び付く糸口を得られていない。これに限らず、本研究課題につながる研究の広がりを探ることも最終年度の研究方針の1つとしたい。
Causes of Carryover	2023年度分の執行において、最後に支出した旅費の計算で事前の見積もりと大学における計算に細かい誤差が生じたことにより、少額の残額が生じた。この残額は少額であるため、残りの短い期間で執行するよりも次年度に繰り越した方が無駄が生じないと判断した。2024年度の使用計画としては、200円という少額の金額をこの繰越額単独で使用することには意味がないため、2024年度分の予算使用の中での申請当初の予定と実際の執行の間で生じる差額の中に組み込んで合算使用することを想定している。少額の誤差の範囲内であるので、この金額の繰り越しによって2024年度の予算の使用に影響を与えることはない。
Remarks	本研究課題で援用するために初年度に作成した単体的複体のpartitionability判定のためのソフトウェア（C言語プログラム）を本URLに公開している。