2022 Fiscal Year Research-status Report

A study of complex spherical codes and designs by algebraic methods

Research Project

Project/Area Number	22K03410
Research Institution	防衛大学校(総合教育学群、人文社会科学群、応用科学群、電気情報学群及びシステム工学群)
Principal Investigator	須田庄防衛大学校(総合教育学群、人文社会科学群、応用科学群、電気情報学群及びシステム工学群), 総合教育学群, 准教授 (30710206)
Project Period (FY)	2022-04-01 – 2026-03-31
Keywords	アソシエーション・スキーム / Wittデザイン / グラフの符号付け / ブロック出材㎜
Outline of Annual Research Achievements	今年度は次の三つの研究を行った。（１）島根大学のAlexander Gavrilyuk氏との共同研究で、Witt 4-(11,5,1)デザインから得られるアソシエーション・スキームの一意性を示した。Delsarte理論からそのようなデザインからQ-多項式型アソシエーション・スキームが得られる。University of WyomingのJason WillifordによりQ-多項式型アソシエーション・スキームの分類・存在・非存在に関する表がまとめられており、この例はクラスが3の原始的なものの中で、分類が完成していなかった最小の頂点数のものである。証明は、アソシエーション・スキームの球面への表現を通じて、球面上の距離集合の問題に帰着させ、計算機を用いた。（２）中国科学技術大学のJack Koolen氏、University of LethbridgeのHadiKharaghani氏との共同研究で、スペクトル半径が最小となるような無向グラフの符号付けを考察した。そのような符号付けはラマヌジャングラフとの関連が指摘されている。本研究では、符号付けがweighing行列となるようなグラフの例を多数与えることで、スペクトル半径が最小となる例を多数構成した。また、最小となるかどうかは未解明だが、Lin-Liuの予想を満たす例も構成した。（３）Nanyang Technological UniversityのGary Greaves氏との共同研究で、正方行列から得られるブロックデザインの研究を行った。アダマール行列やアソシエーション・スキームの隣接行列といった、正則性の高い行列から2-,3-デザインを得る方法を提唱した。現在、論文を執筆中である。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason Wittデザインに関する研究は、前課題のときから継続して考察したものであり、グラフの符号付けやブロックデザインの研究などアソシエーション・スキームに関連する研究が進展したため。
Strategy for Future Research Activity	順調に研究が進んでいるので、グラフの符号付けとブロックデザインの研究はこれまで通り進める。また、複素格子から得られる球面デザインや可換アソシエーション・スキームに関する研究を進める。