2023 Fiscal Year Research-status Report
Mathematical and numerical analysis of Sobolev gradient flows appearing in interface and materials science
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22K03425
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| Research Institution | Kanazawa University |
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Principal Investigator |
榊原 航也 金沢大学, 数物科学系, 准教授 (30807772)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
岡部 真也 東北大学, 理学研究科, 准教授 (70435973)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | Langmuir モデル / 時間局所可解性 / PFEM |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は，Langmuir モデルの数学解析に焦点をあてて研究を進めた．Langmuir モデルは主要項に曲率が現れつつ（退化放物型方程式），非局所項に曲率×積分核の積分が入ってくる偏微分方程式として記述されるため，その解析は容易ではない．我々は，DeTurckトリックを用いて Langmuir モデルを同値変形し，また，放物型方程式の解析に有用である空間として，時間方向に Holder 性を課した空間を考察した．結果として，この空間における非局所項の Lipschitz 性を示すことができ，時間局所可解性，および解の正則性に関する最終的な結果を得るまであと一歩のところまで解析を進めることに成功した．また同時に，parametric finite element method (PFEM) に基づいた数値計算スキームを構築し，解のダイナミクスを再現することにも成功した．
Langmuir モデルの解析以外には，(i) 離散最適輸送の数値解析（高津飛鳥氏，保國惠一氏との共同研究），(ii) 基本解近似解法に基づいた Plateau 問題の数値解析（清水雄貴氏との共同研究），(iii) Kobayashi-Warren-Carter モデルの勾配流の特異極限に関する研究（儀我美一氏，久保絢斗氏，黒田紘敏氏，岡本潤氏，上坂正晃氏との共同研究），(iv) Canham-Helfrich 汎函数に対する閾値型アルゴリズムの解析（石井克幸氏，高坂良史氏，三宅庸仁氏との共同研究）も行い，いずれについても論文を投稿した．また，昨年度中に投稿していた自己駆動体に関する論文は，Scientific Reportsより出版された．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Langmuir モデルに対する数学解析の結果はだいぶまとまってきており，また，数値計算スキームも構築することで，理論・応用の両側面から研究を進めることができている．また，当初の予定になかった関連する研究課題でも研究成果を出すことができている．以上をまとめると，おおむね順調に進展していると考えられる．
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度の研究成果に基づき，Langmuir モデルの時間局所可解性および正則性の結果をまとめ，論文を投稿する．また，本来の研究計画になかったとしても関連する研究を積極的に推し進めて行く．
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| Causes of Carryover |
異動に伴い学内業務の要領等が大きく変わり，特に，後期は余り出張できなかったために次年度使用額が生じてしまった．しかしながら，今年度は昨年度と同様の業務になるため事態も把握済みであるため，積極的かつ計画的に学会や研究集会に参加し，また，研究打ち合わせも行うことで着実に研究を遂行する．
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