2022 Fiscal Year Research-status Report
Studies on the Navier-Stokes equations by numerical methods
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22K03438
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| Research Institution | Gakushuin University |
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Principal Investigator |
岡本 久 学習院大学, 理学部, 教授 (40143359)
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2022-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | 流体力学 / 非線形偏微分方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ナヴィエ・ストークス方程式は粘性流体の運動方程式であり、多くの研究者の注目を集めてきた。本研究では、まず、力学系理論から見たコルモゴロフ問題において粘性の小さな場合に見られる奇妙な現象を解析した。技術的な観点から言えば特異摂動現象の一つなのであるが、一般論を同方程式に適用しようとしてもすぐにはうまくいかない。これについて、数値的・摂動論的手法を用いて研究した。一方で、流体力学には様々なモデル方程式が使われており、その数値解析手法の開発も重要である。非圧縮流体のモデル方程式では非線形のみならず、しばしば非局所性が本質的である。そうした非線形かつ非局所的な微分方程式の解の特異点を数値的に検証しようとすると困難に出くわす。そうした問題を数値的に解くための計算アルゴリズムの開発をめざした。以上のふたつのメインテーマを中心にナヴィエ・ストークス方程式の解を研究した。
さらに、流体力学の運動方程式はしばしば非線形かつ非局所的である。この「非局所的」という性質は意外に忘れられがちであるが、やっかいな問題を引き起こす原因となる。特に、解の爆発あるいは不連続性が発生するような発展方程式を数値計算しようとすると悩ましい問題に出会う。非線形熱方程式 ならば問題は簡単である。実際、一番簡単な差分法で定性的かつ定量的な解析が可能である。これは、ある時刻・ある点で爆発が起きるとき、元々の解がある種の単調性を持ち、その単調性が差分法の解にも共有されるからである。しかし、分数べきの微分方程式についてはそうした離散化が開発されていない。本研究ではその開発もひとつの目標としている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
コルモゴロフ問題では流れを長方形領域で考える。この長方形のアスペクト比が小さい場合、すなわち、非常に細長い長方形で考えると、実に単純な流れが数値計算によって見つかった。この解では流線がほぼまっすぐになるのである。しかも流線は縦にほぼ等間隔に並ぶので、流れ関数が区分的１次関数になることが示唆される。その数学的な背景を調べている。
時間ついて分数べきの微分方程式を考え、その解がどのように爆発するか研究中である。分数階ではなく１階の場合には様々なアルゴリズムが考えられており、その有用性も確かめられている。しかし、分数べき方程式についてはよくわかっていない。台湾の中山大学の卓建宏教授と共同研究しており、今年中に論文がまとまる予定である。
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| Strategy for Future Research Activity |
上記のコルモゴロフ問題の解の理論的な解明が必要である。本年度のICIAM国際会議においてKim Sun-Chul教授などの共同研究者が来日するので、そこでの討論を通じて研究を深めたい。円形の流れの時にはプラントルの理論の一般化が大いに役立ったが、この「直線的」な流線の場合にはそこから導かれる結果がずっと弱いものになってしまう。そこでこれに代わるものを探さねばならないのであるが、今のところこれと言った有力候補は見つかっていない。
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| Causes of Carryover |
コロナのために台湾や韓国の共同研究者との共同研究がうまく進まなかった。幸いにして今年度にはこうした研究者が８月に早稲田大学における応用数学のコングレス ICIAM に来日することになっており、その折に必要となる経費としたい。また、昨年は成果の発表があまりできなかったが、今年は内外の国際会議で成果を発表する予定である。
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Research Products
(2 results)
