2023 Fiscal Year Research-status Report
Development of discrete Dirac dynamical systems and variational integrators
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22K03443
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
吉村 浩明 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (40247234)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| Keywords | 離散ディラック系 / 離散ラグランジュ・ディラック系 / 無限次元ラグランジュ・ディラック系 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では、非ホロノミックな拘束を受ける連続力学系の離散化に関連して、離散ディラック構造とそれに基づく離散ディラック力学系の枠組みを提案し、さらに、その変分構造を明らかにすることを目的としている。昨年度までに、連続系の枠組みにおける、Tulczyjewのtripleと呼ばれる高階バンドル、及びその上で定義される一般化された正準変換を離散化した。これにより、離散ラグランジアンの微分から定義される離散ディラック微分を用いることで、接バンドル上の１形式を余接バンドル上に誘導した。さらに、一般の多様体上のディラック構造の離散化に成功した。2023年度は、特に、離散ラグランジアンに関連するルジャンドル変換によって、＋と－の形式が存在することを示した。さらに、この一般的な離散ディラック構造を用いて、ラグランジュ・ディラック系の枠組みで必要となる配位空間上の拘束ディストリビューションから誘導されるディラック構造の離散化を試みと、ハミルトン・ポントリヤーギンの変分原理の離散化について考察を行った。＋と－の形式では、k+1とkという異なる時刻における離散同相写像を考えるという問題が発生しているが、離散発展写像を考慮した高階バンドル構造について考察することで解決できるのではないかという目算を立てて鋭意研究を進めている。離散化とは別の関連研究として、連続系のハミルトニアン変分法に基づく、非平衡熱力学の構成、非単純な開放系の非平衡熱力学の定式化や内部接続構造としてのディラック系の定式化を行った。そのほか、無限次元のラグランジュ・ディラック系において、境界付き多様体上での定式化に成功した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
離散ラグランジュ・ディラック系の候補は、離散化の手法によって、いくつかの候補があり得ると考えられる。他の先行研究（例えば、Leok and Ohsawa[2008]）では、離散ディラック構造を提案しているが、そもそも、ディラック構造の定義を満たしておらず、問題があった。本研究では、離散ディラック構造は、連続系の場合と同様に、ディラック構造の定義を満足している点で進展した成果を得ている。特に、提案した離散構造が離散ディラック構造であることの証明に成功した。一方で、その特別な場合である、余接バンドル上のディラック構造の離散化において、ディストリビューションを離散化した際に、＋と－の形式余接バンドルのベース点と異なる点でラグランジアンの離散ディラック微分が値を取るという問題が発生し、導出された離散ラグランジュ・ダランベール方程式の拘束力の評価が正しくできていない状況にある。元々、離散系においては、非ホロノミック拘束の取り扱いには難点があり、変分拘束と運動拘束を離散化する際に、連続系のように、同じ非ホロノミック拘束を用いて、変分拘束と運動拘束を扱うことができない。この問題は、非ホロノミック拘束を受ける場合に典型的に現れる問題であり、早急に解決をする必要があると考えている。その修正を行なうため、現在、離散化されたバンドル構造と離散発展写像の関係を明らかにすることで解決できるのではないかという方針のもと鋭意研究を推進している。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後、離散化されたバンドル構造と離散発展写像の関係を明らかにすることで、変分拘束と運動拘束を離散化する際の発生する問題を解決するとともに、拘束のない場合の離散ディラック構造ついては完成しているので、その具体的な応用例を考えていくことが2024年度の課題である。特に、ニューラルネットへの応用を考察し始めている。最近、ハミルトニアンニューラルネットやラグランジアンニューラルネットという概念が提案されているが、ディラック系を活用したニューラルネットは、未だ開発されていないのが現状である。まず、拘束のない正準ディラック構造について、これらハミルトニアンニューラルネットやラグランジアンニューラルネットの拡張を考察する。また、離散ディラック構造を用いて導入された、離散ラグランジュ・ディラック系を離散変分構造から導くことができるかについても引き続き考察する。本研究と関連して並行して実施している、ディラック系の非平衡熱力学への応用については、内部接続系に関する考察とハミルトン・ディラック系の変分構造を明らかにしつつあり、今後の進展が期待できる。無限次元の力学系の応用や、マルチボディシステムの変分的積分法に関する研究についても、多剛体系のロボット及び柔軟ビームを有する剛体の運動解析への応用にディラック系を応用するアイデアを提案していく予定である。さらに、摂動を受けるハミルトン系としてモデル化された流体混合について、周期点の分岐現象などへの展開も引き続き計画をしている。
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| Causes of Carryover |
年度末に，共同研究者のいるシンガポールの南洋理工大学へ出張する予定があったが，相手方の都合により，延期となったため，予算を消化できなかった．
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