2022 Fiscal Year Research-status Report
Minimal model theory and its applications
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22K13887
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
橋詰 健太 京都大学, スーパーグローバルコース数学系ユニット, 特定助教 (40934211)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 一般化された対数的標準対 / 極小モデル理論 / 飯高ファイブレーションの有効性 / 有効的固定点自由化定理 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度の研究の主な成果は、ネフかつ対数的巨大な因子で偏極化された対数的標準対の理論の構築である。ネフ因子で偏極化された対数的標準対は「一般化された対数的標準対」と呼ばれる対象の特別な場合と見なすことができる。「一般化された対数的標準対」はBirkar、Zhangによって導入された対象で、対数的標準対よりも広い枠組みである。一般的に対数的標準対よりも広い枠組みでは双有理幾何学の結果は成り立たないことが多いが、現在の双有理幾何学の議論において不可欠な存在である。「一般化された対数的標準対」は元々、飯高ファイブレーションの有効性と呼ばれる性質を研究するための道具であり、今年度の研究の主結果の１つも飯高ファイブレーションの有効性である。
まず、ネフかつ対数的巨大な因子で偏極化された対数的標準対の極小モデル理論を構築した。この結果の応用として、ネフかつ対数的巨大な因子で偏極化された因子的対数的端末対の飯高ファイブレーションの有効性を示した。さらに、complementと呼ばれる対象の有界性、対数的標準環の有効的有限生成性、有効的固定点自由化定理など、種々の不変量の有限性を示した。
また、一定の仮定の下でのLC-自明ファイブレーションにおいて、底空間の因子のカルティエ指数が全空間の対数的標準因子のカルティエ指数に依存していることも示した。この結果の応用として、一般的な対数的標準対に関する部分的な有効的固定点自由化定理を示した。固定点自由化定理は、対数的一般型の場合はKollar氏や藤野氏によって知られているが、今回の結果はそれらの結果の一般化にもなっている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
最終目標はLC-自明ファイブレーションにおける標準束公式の確立であり、ネフかつ対数的巨大な因子で偏極化された対数的標準対はそのための研究対象であったが、標準束公式は完成できなかった。その代わり、ネフかつ対数的巨大な因子で偏極化された対数的標準対の理論は十分発展させることができ、さらに有効的固定点自由化定理についての結果も得ることができた。とくに後者は今後の応用が期待できる結果であると考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
引き続き、LC-自明ファイブレーションにおける標準束公式の完成を目指す。また、今回得られた不変量の種々の有限性の双有理幾何学への応用を模索していく。
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