2022 Fiscal Year Research-status Report
Zeros of zeta functions and L-functions, and their relations to Goldbach's problem
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22K13895
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
スリアジャヤ アデイルマ 九州大学, 数理学研究院, 助教 (50804241)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| Keywords | リーマンゼータ関数 / 零点の対相関 / Montgomery予想 / 代替予想 / 単純零点の割合 / ゴールドバッハ平均 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度の主な研究内容はBaluyot氏、Goldston氏とTurnage-Butterbaugh氏との研究で、リーマンゼータ関数の零点の対相関に関するMontgomery予想とその正反対の予想となる代替予想についてである。前者についてはリーマン予想を仮定しない場合を考慮し、同じくMontgomeryの定理は得られた。その応用の一つとして、リーマン予想より遥かに弱い条件のみで61%以上のリーマンゼータ関数の非自明な零点が単純零点であることを示した。後者についても同じく、リーマンゼータ関数の非自明な零点がほぼ全て単純零点であることを示すための条件をはっきりさせ、従来の代替予想だけでは得られない理由も明らかにした。特に、Montgomery予想と異なり、代替予想は重複する零点を許す余地があり、研究代表者らはそれを明示的に記述した。
上記以外に、Goldston氏との共同研究で執筆したゴールドバッハ表現の個数の平均の誤差評価に関する論文を投稿し、修正も行った。この論文は現在出版済みである。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年のほとんどの研究はAmerican Institute of Mathematics及びサンノゼ州立大学にて別の経費の用事と同時に進行しながら行なった。この経費に関わる研究に関しては、主にGoldston氏と打ち合わせをしながら行い、例年に続きゴールドバッハ問題に関する議論も行なったが、これ以上、十分に面白い結果が思いつかないため、この話題に関する研究を中止した。一方、リーマンゼータ関数の零点の対相関に関する研究は期待以上に進んでおり、代替予想の新しい面を発見した。特に、Montgomery予想と比べれば、代替予想は重複度が２以上の零点がどのように許されるかを明示的な式で示すことができた。この研究をしながら、急に思いついたのは、それらの研究の基盤となるMontgomeryの定理の無条件（リーマン予想を仮定しない場合）の考察である。それが意外とうまくいき、既存の結果を用いる直接な応用として、単純零点である零点の割合も計算できた。
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| Strategy for Future Research Activity |
上記でも述べた、リーマン予想を仮定しないMontgomeryの定理を用いて、単純零点の割合に対して、零点の密度の情報まで考慮すればより強い結果が得られると期待される。今後の一つ目の計画として、零点密度の評価を適用した単純零点の割合を調べることである。その次に、代替予想の論文を完成したら、それを仮定し、導関数の零点の分布を調べたい。類似する研究として、Montgomery予想を仮定した導関数の零点の分布の結果があるため、Montgomery予想ではなく代替予想を用いる場合、導関数の零点の分布がどうなるかを知りたい。特に、一階導関数の零点の横分布はリーマンゼータ関数自身の零点の縦分布の関係を明らかにしたい。
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