2023 Fiscal Year Research-status Report
Fourier解析的手法に基づいた確率微分方程式の近似理論の研究
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22K13932
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| Research Institution | Kumamoto University |
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Principal Investigator |
永沼 伸顕 熊本大学, 大学院先端科学研究部(工), 准教授 (60750669)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | 確率微分方程式 / ラフパス解析 / マリアバン解析 / 近似理論 / フーリエ解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は非整数ブラウン運動を典型例とするガウス過程により駆動される確率微分方程式の解の近似に関する研究を行った。解の近似に関する研究は駆動過程の性質や近似手法ごとに多くの研究がある。例えば、駆動過程の時間差分を用いたオイラー・丸山近似、ミルスタイン近似が典型例である。別種の近似手法にウォン・ザカイ近似がある。これは駆動過程を折れ線で近似し、それを駆動過程とする近似方程式の解を用いて近似解を構成する手法である。ここで折れ線近似も駆動課程の時間差分を用いていることに注意する。本研究の主目的は時間差分を用いない近似手法の研究である。具体的には、ウォン・ザカイ近似に似た手法をとる。駆動過程をフーリエ級数を用いて近似過程を構成し、それを駆動過程とする近似方程式の解を用いて近似する方法を考える。これを広義のウォン・ザカイ近似ということにする。
非整数ブラウン運動のようなガウス過程により駆動される確率微分方程式の定式化にはラフパス解析を用いることが多い。ラフパス解析では駆動過程の重複積分が重要な役割を果たし、近似理論の中でも重複積分の解析が多くの割合を占め、本研究でも重要である。実際、本来の駆動過程の重複積分と近似した駆動過程の重複積分の漸近評価から近似解の漸近評価を得ることができる。このためこの部分が本研究の主要部となる。
また駆動過程をフーリエ級数を用いて近似すると独立な確率変数列から駆動過程を直接構成することになるので、数値計算を行いやすい。その点に注意して数値実験を行いたい。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
広義のウォン・ザカイ近似の解析において重複積分の解析が重要であることはすでに述べた通りである。非常に典型的な状況では、重複積分の振る舞いは簡単に理解できる。一般的な場合でも同様の振る舞いをすることが予想されるが、詳細な検討が必要となる。本年度は、重複積分の具体的な表示から検討を試みたが、計算の煩雑さがあり上手くいかなかった。
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| Strategy for Future Research Activity |
広義のウォン・ザカイ近似の解析を引き続き行う。特に、重複積分の解析では、その具体的な表示によらず、幾何的な特徴を用いた解析を試みる。また広義のウォン・ザカイ近似の解析以外にも、オイラー・丸山近似の駆動過程の拡張を試みたい。
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| Causes of Carryover |
研究の進展具合を鑑みて物品を購入しているが進展が予定より少なかったことが原因である。研究の進展とともに未使用分はなくなる予定である。
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