2022 Fiscal Year Research-status Report
一般化されたマシュー方程式とその離散方程式の精密解析
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22K13933
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| Research Institution | Hiroshima National College of Maritime Technology |
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Principal Investigator |
石橋 和葵 広島商船高等専門学校, その他部局等, 助教 (30825386)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | 振動問題 / マシュー方程式 / ハーパー方程式 / 微分方程式 / 差分方程式 / タイムスケール / リッカチ変換法 / 相平面解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では、関数方程式の大域解を振動解（常に符号変化する）と非振動解（常に正または負）に分類する問題（振動問題）に取り組んでいる。令和4年は、その振動問題に関する以下のテーマについての研究成果を得た。
(1)非周期的な有界関数を係数にもつマシュー型方程式の解の振動性：通常のマシュー方程式は周期関数を係数にもつ。このテーマでは、マシュー方程式の係数を非周期的な有界関数に拡張した。また、その一般化したマシュー型方程式のすべての非自明解が振動または振動しないことを保証する十分条件を導出した。
(2)非線形マシュー型方程式の解の非振動性：1次元pラプラス作用素を有する非線形マシュー型方程式のすべての非自明解が非振動解をもつための判定条件を導出した。特に、p=2の場合は、線形に対するマシュー方程式の非振動定理と一致することが判明している。非振動定理の証明は、振動問題でよく使うリッカチ変換法を駆使した。
(3)比例微分制御を利用した減衰線形方程式の解の非振動性：近年、制御理論に登場する比例微分制御の式を微分演算子として採用された線形方程式の定性的理論の研究が流行している。流行を先取り、このテーマでは、その微分演算子をもつ線形方程式のすべての非自明解が振動しないことを保証する十分条件を得た。特に、この非振動定理は、制御工学に応用をもつマシュー方程式やウィッタカー・ヒル方程式に適用可能となる。
(4)常微分方程式と差分方程式の解の類似性や相違性：このテーマでは、振動・非振動の観点から、1次元pラプラス作用素を有する非線形微分方程式と非線形差分方程式の解構造の類似性に着目した。実際に、両者のすべての非自明解が振動しないことを保証する十分条件を与えることができた。その非振動条件の特徴として、タイムスケールという新たな概念により、非線形微分方程式と差分方程式の非振動条件は統一できる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
昨年度から本年度にかけて、マシュー方程式に関連する3編の論文が掲載済みである。また、常微分方程式と差分方程式の解構造の類似性に関する1編の論文も掲載済みである。さらに、杉江実郎氏（島根大学名誉教授）との不連続力学系に関する1編の共著論文も掲載済みである。以上の研究成果から、研究はおおむね順調に進展していると考える。
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| Strategy for Future Research Activity |
昨年度に引き続き、マシュー方程式に関連した研究を推進する。特に、非周期関数を係数にもつマシュー方程式、外力項をもつマシュー方程式、非線形マシュー方程式の解構造の解明に力を入れていく。上述した三つのマシュー方程式は、制御工学分野にしばしば登場する。制御分野にも広く適用可能な振動・非振動判定法の確立に寄与する。さらに、マシュー方程式を差分化した方程式として知られているハーパー方程式（周期関数を係数にもつ2階線形差分方程式）の解構造を振動・非振動の観点から精密に解析する。実際に、これまでのマシュー方程式解析で利用してきたリッカチ変換法や相平面解析をハーパー方程式にも適用可能となるようにカスタマイズさせる。今後は、常微分方程式のみならず、差分方程式の定性理論の発展にも貢献する。そのためには、微分方程式や差分方程式を専門とする研究者との情報交換が必要であり、研究集会や学会などに参加していく。また、国内・国外で開催される研究集会や学会などで成果を発表する。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス(COVID-19)の影響により、学会発表の出張があまりできず、旅費が不要となったため。次年度は、新型コロナウイルス感染症が5類に移行する。その理由から、国内外の研究集会が現地開催されると予想されるため、旅費の支出を計画している。また、次年度から所属機関が変更となる。研究環境を整えるために、物品費を利用して、数値実験のためのコンピュータや微分方程式と差分方程式の書籍などを購入する予定である。
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