2023 Fiscal Year Research-status Report
完全非線形偏微分方程式とその自由境界問題に対する理論と応用
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22K13944
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| Research Institution | Tottori University of Environmental Studies |
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Principal Investigator |
小杉 卓裕 公立鳥取環境大学, 人間形成教育センター, 講師 (80816215)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| Keywords | 平均場ゲーム / ハミルトン・ヤコビ / 粘性解 / 最適制御 / 不動点定理 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ある価格形成モデルのMean-Field Gamesから現れる偏微分方程式系の古典解の一意存在について考察した．具体的には，個々のプレーヤーの最適制御を表す (粘性) Hamilton-Jacobi 方程式と，全プレーヤーの分布を表すその最適な制御を移流項をもつ Fokker-Plank 方程式とGomes-Saude (2021) により導入された，電気のような溜め込んでおける商品について需要と供給のバランス表す積分方程式の系である．この方程式系について，偏微分方程式論から得られる評価式および不動点定理を用いて解の存在を示した．昨年度の段階で大本となる証明は済んでいたが，より広いクラスの方程式を扱い，また解の一意性についてもプレーヤー分布の初期値の正値性の条件を弱め，非負値性のみで示すことに成功した．
上記の方程式系は最適制御を表す方程式に分布が依存していないもののみ考えていたが，Mean-Field Gamesではしばしば最適制御の外力として分布に依存した函数が現れる．これは個々の行動がプレーヤーの分布，すなわち人数に依存して変わることを考えば自然ともいえる．一方，上記の3本のような方程式系でかつ分布が外力として現れるものについては最適制御理論の枠組みでは解の一意存在性が示されているが，偏微分方程式論的議論の証明は存在しない．現在はそのような方程式系について解の存在を得るための評価について考察している．
また，完全非線形版藤田型方程式の関連として，ラプラシアンがハミルトニアンだった場合，すなわち2階ではなく1階の方程式の時間大域解の存在について示した．これは今後藤田型方程式とハミルトン・ヤコビ方程式の系の藤田指数の解析についての一助となると考えている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
平均場ゲームについて得られた結果は本質的には古典解よりも弱い解が捕まえられる可能性が高く，その確認を行っているため投稿準備中であるが近日中にまとめたものを投稿できると考えられる．また，新たな問題についても解の評価を進めている．
また，藤田型の問題についても1階の単独の方程式に得られた優解の存在は，粘性解であるからこそのものであり，時間大域解の存在について初めての結果が得られたため．
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| Strategy for Future Research Activity |
古典解の存在について示してきたが，強解やより弱い解についての結果が得られるか検証する．また，今回得られている手法では得られない解の評価について考察していく．
藤田型と同じ非線形項をもつ1階の方程式の解の存在性について，一部の範囲について未解決部分が残っているので解決していく．その後，藤田型方程式と1階の方程式の弱結合による系の藤田指数について調べていく．
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| Causes of Carryover |
次年度にある程度の費用が必要になったためその予算を残した．
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