2023 Fiscal Year Research-status Report
動的境界条件の下で微生物・化学物質の影響を考慮した流体方程式の適切性理論の確立
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22K13948
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| Research Institution | Institute of Physical and Chemical Research |
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Principal Investigator |
古川 賢 国立研究開発法人理化学研究所, 開拓研究本部, 特別研究員 (70895309)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | ロトカ・ヴォルテラ方程式 / 移流拡散方程式 / Navier-Stokes方程式 / 濾過 / 適切性 / 漸近挙動 / 安定性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は前年度に引き続き，1次元の場合に対し，本研究で対象としている水槽の濾過とフィルターの目詰まりを記述する偏微分方程式系のモデルに対する(1)解の解の一意存在性(適切性)の証明と(2)数値シミュレーションによるモデルの挙動の妥当性の検証を行った.
(1)では，1次元ではNavier-Stokes方程式が非圧縮条件により実質的に無視できるため，移流拡散被食者捕食者モデルのみの考察を行った．本研究では境界条件がよく用いられているDirichlet，Neumann，Robin,周期境界条件のいずれでもない上に，時間依存するため，この点の解析が重要となった．境界条件が時間依存する場合は，発展作用素を構成することが必要となり，田辺-加藤の理論を援用することで解決した．この解析の際に本研究の目的である2次元以上の高次元空間の場合でも援用可能な線型化作用素の解公式を導出することができた．これは来年度以降での研究でも大いに役立つことが期待できる．これらの線型解析，不動点定理，アプリオリ評価を援用することで1次元の場合での適切性の証明を行った．ここでのアプリオリ評価も来年度以降の高次元の場合でも援用できることが期待できる．
(2)では，前年度に開発した数値シミュレーションシステムを用いて，モデルの数理物理的妥当性を検証した．モデルの給餌量と濾過能力に対応するパラメータを変えて数値シミュレーションを行うことで，目詰まりの発生と不発生が起こるというモデリングの際に期待した通りの挙動を再現できていることを検証できた．また，この目詰まりの発生・不発生の転移のを複数パラメータに対して詳しく調べ，転移の境界を可視化することに成功した．
これらの結果をまとめ論文としてプレプリントとして発表したほか学術論文雑誌に投稿中である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
おおむね順調としたのは，1次元の場合に関して時間大域解の存在を証明した点，数値シミュレーションによりモデルが想定される挙動を示すことを検証できた点，さらにこれらの結果を論文としてまとめ学術論文雑誌に投稿をしたことによる．また，1次元で用いた知見を用いて，2次元以上の高次元の空間で適切性を証明するのに必要となる線型化問題の解の表示公式を得ることができた．総合的には概ね期待通りの進展をしているといえる．
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| Strategy for Future Research Activity |
1次元の場合で得られた知見を用いて，2次元と3次元の場合の時間大域解の存在性に関する数学解析を進める.まずは線型化問題に対する解の最大正則性評価を導出する．そのために線型化問題のレゾルベント問題に対して解表示を導出する．これに対してbounded H∞-calculusなどの作用素論の理論を用いることで適切性の証明を行うことを想定している．線型解析で得られた結果を応用することで非線形問題に対する適切性を確立する．アプリオリ評価を導出することで解の存在時刻の延長も行う．この際に1次元で行ったアプリオリ評価の導出する計算手法が役立つことが期待される．また，2次元 と3次元での数値実験をするための数値シミュレーションシステムの開発も行う予定である.
1次元での解析の発展として安定性を考察する．まずは捕食者に相当する項が定常状態に達していると仮定するなど次元の削減を行い，考察を進める予定である．
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| Causes of Carryover |
本年度では予定していた海外渡航が行えなかったこととにより次年度使用額が生じた
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