2023 Fiscal Year Research-status Report
Global analysis of mathematical models with conservation law by semi-analytic methods using the elliptic functions
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22K13962
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| Research Institution | Musashino University |
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Principal Investigator |
森 竜樹 武蔵野大学, 工学部, 講師 (00786783)
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2022-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 反応拡散方程式 / 非局所 / 非線形境界値問題 / 楕円関数 / 完全楕円積分 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2023年度は主に、本研究課題の目標であった、(B)「非局所Fix-Caginalp方程式の大域的解構造の解明」について取り組んだ。非局所Fix-Caginalp方程式の定常問題の解の安定性についての解析を行った。昨年度までで、本問題の解は定数解、対称解、非対称解の３つに分類できることがわかっている。まず、定数解と非対称解については、解構造が単純となるパラメータ設定の元、数値的に安定性を調べた。定数解と非定数解がともに安定となるパラメータ領域が存在すること、定数解が不安定で非定数解が安定となるパラメータ領域が存在することや、ハイモードの対称解は不安定で、１モードの解のみが安定となることを数値的に確認した。この結果より、解構造が単純であっても安定性は複雑に切り替わることが明らかとなった。本結果は、論文として発表を行った。
次に、対称解については、昨年度に得た非局所Allen-Cahn方程式、細胞極性モデルの解の安定性の結果を応用することで、2次分岐点周りでの安定性がどのように変化するか示すことができた。この問題に現れる2次分岐はピッチフォーク型であり、対称性が崩れた解が２つと対称性が保たれたままの解が１つに分岐する。1次分岐が起こる拡散係数の値から小さくしていくと、対称解は２次分岐点まで不安定である。2次分岐点で、不安定固有値は対称性が崩れた解に引き継がれることで、対称解が安定化することがわかった。この結果は現在論文として執筆中である。
また、（A）：「非局所Allen-Cahn方程式の２次分岐後の分岐の方向，解の安定性の解明」と密接に関連する細胞極性モデルの拡散係数が有限の場合の厳密解について考察を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究課題で目標としている（A）：非局所Allen-Cahn方程式の２次分岐後の分岐の方向，解の安定性の解明，（B）：SKT交差拡散方程式の拡散係数を止めるごとの解の個数と安定性の解明，（C）：非局所Fix-Caginalp方程式の大域的解構造の解明の３つの問題について研究計画通り進展している。
（A）について、密接に関連する細胞極性モデルの拡散係数が一般の場合の厳密解に関する考察を行うことで、拡散係数が一般の場合の非局所Allen-Cahn方程式の解析法の足掛かりができた。
（C）については、対称解の安定性を数学的に示すことが出来たので、結果を論文として執筆している最中である。
（B）については、拡散係数を無限大としたある極限方程式の解構造の解析の際に現れる膨大な数式の処理を行う方法を模索している状況である。
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| Strategy for Future Research Activity |
現在執筆中である、非局所Fix-Caginalp方程式の定常問題の対称解の安定性に関する論文を仕上げ、発表する。さらに、非対称解についての安定性がどうなっているのか、数値的に調べる。また、本結果は非局所Allen-Cahn方程式の解の安定性と密接に関連しており、応用することで、解の安定性を示すことが出来るかどうかの検討を行う。SKT交差拡散方程式の拡散係数を止めるごとの解の個数と安定性の解明に関しては、上記２つで得られた計算方法を応用・発展させることで、膨大な数式を処理する方法の確立を目指す。
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| Causes of Carryover |
執行率は97.6％でありほぼ計画通り執行できている。一部、出張旅費における交通費や宿泊費を安くすることができたので、差額が生じた。これらの差額は本年度の研究発表、専門家との議論のための出張等の旅費として使用する予定である。
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