2022 Fiscal Year Research-status Report
Developing Theory of Combinatorial Optimization Based on Matrix Representations
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22K17853
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
大城 泰平 東京大学, 大学院情報理工学系研究科, 特任助教 (10908768)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| Keywords | 組合せ最適化 / 代数的アルゴリズム / 線形マトロイドパリティ / 非可換階数 / Edmonds問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
組合せ最適化とは，複数の離散的な選択肢の中から最も良いものを探す問題の枠組みであり，いくつかの組合せ最適化問題は各要素が多変数一次式である「線形記号行列」の階数を計算する問題として表現できる．Lovasz (1989)は，各記号の係数行列が階数2の歪対称行列であるような線形記号行列の階数を計算することで，「線形マトロイドパリティ問題」を解くことができるということを示した．この問題は線形マトロイド交叉やマッチングを含む一般的な問題である．
線形記号行列の階数を計算する問題はEdmonds問題とよばれ，乱数を用いずに多項式時間で解くことが可能かどうかが計算量理論における未解決問題の一つとなっている．近年，線形記号行列の各変数を積に関して互いに非可換とみなした場合に定義される「非可換階数」を計算する「非可換Edmonds問題」は決定性多項式時間可解であることが示された．
代表研究者は，本年，非可換階数を用いた組合せ最適化問題の表現に取り組んだ．線形マトロイドパリティを表現する行列の非可換階数が，問題の実数緩和版である「分数線形マトロイドパリティ」の最適値に対応するということを示した．すなわち，本行列表現において，記号を可換・非可換とみなすことは，最適化問題の許容解として整数制約をそれぞれ課す・課さないという選択と対応するということを明らかにした．さらにこの事実を基にし，分数線形マトロイドパリティを解く高速アルゴリズムを提案した．
本結果は離散アルゴリズム分野のトップ会議SODAで発表した．現在フルバージョンを雑誌に投稿中である．
また本年は，3本の論文を機械学習分野のトップ会議NeurIPSで発表した．これらは組合せ最適化問題の行列表現とは直接関係する内容ではないものの，本研究の遂行中に得られた組合せ最適化および線形代数に対する知見を応用したものである．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
本研究課題の目的の一つは，非可換階数を用いた組合せ最適化問題の行列表現を与えることである．計画立案段階においては，分数線形マトロイドパリティ問題の特殊クラスである「分数マッチング問題」に関する行列表現を与えることを研究計画の第一段階としていた．しかし，本年発表した成果により，一般の分数線形マトロイドパリティ問題に対する行列表現を与えることに成功した．加えて，本研究課題の遂行中に得られた知見を応用し，当初想定していなかった機械学習分野において3本の論文発表を行った．以上の事実により，本研究課題は当初の計画以上に進展していると考えられる．
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| Strategy for Future Research Activity |
今回対象とした線形マトロイドパリティ問題は，目的関数が集合のサイズとなっている「重みなし」問題である．一方，各要素に実数重みが与えられ，解に含まれる要素の重みの和を最大化する「重みつき問題」への拡張も自然かつ重要である．マッチングなど，従来の組合せ最適化問題における重み付き問題は，線形多項式行列とよばれる，各要素が多項式であるような行列の行列式の次数を計算する「重みつきEdmonds問題」として代数的に定式化される．この問題の非可換版に対応する「重み付き非可換Edmonds問題」を用いることで，分数線形マトロイドパリティの重みつき拡張である「重みつき分数線形マトロイドパリティ」問題の表現を得ることが次の課題である．
また，本研究課題の第二の目的である，行列表現を用いた数え上げ技法の深化に取り組んでいく．さらに，機械学習分野へのさらなる知識応用にも引き続き取り組んでいく．
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