2022 Fiscal Year Research-status Report
Geometry of Moduli spaces of Connections and Higgs fields and their Applications
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22K18669
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| Research Institution | Kobe Gakuin University |
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Principal Investigator |
齋藤 政彦 神戸学院大学, 経営学部, 教授 (80183044)
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| Project Period (FY) |
2022-06-30 – 2025-03-31
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| Keywords | 放物接続のモジュライ空間 / 放物Higgs場のモジュライ空間 / 幾何学的ラングランズ対応 / 見かけの特異点理論 / フーリエ・向井変換 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は、代数曲線上の安定放物接続と安定放物Higgs場のモジュライ空間MとM_Hの見かけの特異点理論を中心に研究を進めた。この研究で明らかになった重要な事実として、安定放物接続および安定Higgs接続で特異点を一点以上許し既約なものは、代数曲線上の有理１型式の直線束のべきの直線束の直和のベクトル束上の接続やHiggs場の見かけの特異点における初等変換によって得られるという事である。このことから、安定放物接続のモジュライ空間のある開集合上の良い座標として、見かけの特異点q_iとその双対ｐ_iが取れることが分かる。このことは、古典的な見かけの特異点理論を現代的に焼き直したものと言えるが、さらにMおよびM_Hの代数的シンプレクテック構造を与える２形式の具体的な表示を与え,Mの場合には、モノドロミー保存変形を記述することが興味深い。これらの事は、代数曲線が射影直線の場合は、Dubrovin-Mazzoccoが示しているが、種数が２以上の場合に岩崎が階数２で示している事の拡張になっている。MおよびM_Hの次元が２の場合は、パンルヴェ方程式の初期値空間の立場から、様々な研究者によち構造が精密に記述されているが、次元が４以上の場合の構造も記述される事が期待される。この事により、MおよびM_Hのコホモロジーが決定され、幾何学的ラングランズ対応との関連が期待される。光明、Lorayとともに、射影直線上の不確定特異点をもつ階数２の放物接続に対応する放物ベクトル束のモジュライ空間とその自然なコンパクト化の構造を調べた。また、量子曲線と位相的漸化式等とパンルヴェ方程式との関係についてワークショップを開催して情報交換および考察を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
上記の代数曲線上の安定放物接続と安定放物Higgs場のモジュライ空間MとM_Hの見かけの特異点理論については、光明、Loray、Szaboらと頻繁に連絡を取り合い研究を進めている。光明、Lorayとは、射影直線上の不確定特異点をもつ階数２の放物接続に対応する放物ベクトル束のモジュライ空間とその自然なコンパクト化の構造を調べて学術論文を発表した。
このほか、光明、Biswas, 稲場との枠付き対数接続のモジュライ空間の研究においても、そのシンプレクテック構造の存在を示している。岩崎は底曲線が種数２以上で階数が２の時の理論をモノドロミー空間の自然な２形式をリーマン・ヒルベルト対応で引き戻した時の記述を見かけの特異点とその双対により記述しているが、対応するモノドロミー保存変形の微分方程式のハミルトニアンが自然に得られる。これを今後は、階数一般の場合に確立する方向の研究が進んでいる。モノドロミー空間の２型式は、局所系の自己準同型束の交差コホモロジーと対応するD加群の同型を介して理解されるので、この立場からM上の２型式の記述を進めたい。量子曲線や位相的漸化式とパンルヴェ方程式の関係は、今後非常に重要な役割を果たすと思われるが、２月に東京大学で関連するワークショップを開催し関係研究者との情報交換を行っている。カラビ・ヤウ多様体のミラー対称性や正則アノーマリー方程式、Gopakumar-Vafa予想との関係も指摘されており今後の展開が望まれる。
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| Strategy for Future Research Activity |
2024年度に京都大学数理解析研究所で予定されている訪問滞在型研究プロジェクト「可積分系・数理物理学の関わる代数幾何学の発展」において、幾何学的ラングランズ対応、位相的漸化式、量子曲線、ミラー対称性、カラビ・ヤウ多様体、放物接続・Higgs束のモジュライ空間とリーマン・ヒルベルト対応、パンルヴェ方程式とそのτ関数について研究集会およびワークショップを開催する予定である。これに向けて、2023年度は国内および国外の研究者と連携し準備を行う。特に、放物接続のモジュライ空間の見かけの特異点による標準座標の理論を完成させ、放物接続のモジュライ空間のコホモロジーの計算が可能になるように研究を進める。国内外においてワークショップや対面での研究連絡を行う。Webによるパンルヴェセミナーを継続し、最新の研究成果を共有する体制を構築する。
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| Causes of Carryover |
2022年3月に前職を退職し、新しい職場に就職したため、新しい職場の教育・研究体制に順応するために時間を要した。また、前期において国内外への渡航が一定程度制限されていた事もあり、研究打合せ旅費の使用が制限された事も次年度使用額が生じた理由である。今年度は、本研究課題に関係して、2024年度に開催が予定されている京都大学数理解析研究所での訪問滞在型プロジェクト研究に向けて準備を行うために、旅費等を使用する予定である。
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