2022 Fiscal Year Research-status Report
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22K18673
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
杉本 充 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (60196756)
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| Project Period (FY) |
2022-06-30 – 2025-03-31
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| Keywords | 超局所解析 / 波動方程式 / 自己相似解 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
この研究は，偏微分方程式における解のなめらかさや大きさなど定量的な性質の解析において，超局所解析の手法を取り込むための汎用性のある方法論を構築し，偏微分方程式論の研究における新しい可能性を追求していくものである．そのためには，偏微分方程式解のもつ構造のうちどの部分がその定量的性質に影響を与えているかを探ることがまずは重要と考えられるが，今年度は特に波動方程式に焦点をあて，その非線形問題の解を具体的に構成し今後の研究の方向性の指針とすることを試みた．これまでに冪型の非線形項をもつ波動方程式の初期値問題に対して，冪の指数がある範囲にとどまっていれば自己相似解が存在することが先行研究により示されていた．しかしながら，これらはあくまでも「存在証明」であり，自己相似解がどのような形をしているのかに関する知見までは得られていなかった．このような状況のもと今年度の研究成果により，超幾何函数を用いて具体的に自己相似解を構成するという新しい手段を得ることができた．さらに，この手法がスケール不変型の消散型波動方程式に対しても適用可能であることを見出し，これにより，時間大域解が存在するための臨界冪指数のシフト現象に対する新しい解釈を与えることが可能になった． また．これと並行して，多様体上などの一般的な状況における波動方程式の初期値問題の基本解に対する評価に関して，様々な知見が進むシュレデインガー方程式に対する評価式から導出する方法論の構築も試みた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
これまでの研究により，自己相似解が存在するための非線形項の冪の指数に対する条件は，超幾何関数の挙動から理解できるようになった．このように，非線形方程式の解の具体的な構造を見ることにより定量的性質をとらえることができた点は，今後の進展へと繋がる重要な成果と考えられる．
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| Strategy for Future Research Activity |
まずは，これまでに成果が上がっている自己相似解を具体的に構成する手法を，他の様々な方程式に対しても試みることにより，この方面での知見を拡げていきたい．同時に，波動方程式の Lp評価に関する課題に対しても重点的に取り組んで行きたい．具体的には，多様体上などの一般的な状況における波動方程式の初期値問題の基本解に対する Lｐ-評価に関して，既に様々な知見が得られているシュレデインガー方程式に対するLp-評価から導出する方法論の構築を試みたい．さらには分散型方程式の時空間評価において，局所的なものから大域的なものを導出する方法論を構築したい．これらはいずれも定量的な解析において超局所解析の手法を適用する典型例となることが期待される．
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| Causes of Carryover |
今年度予定していた国際研究集会は，オンラインを用いたハイブリッド方式にて開催することになり，講演者のための旅費として予定してた分は未使用となってしまった．次年度は本格的に対面による国際研究集会の開催を8月末に予定しており，主に海外研究者の招へいのための費用として使用する計画である．
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