2022 Fiscal Year Research-status Report
Qualitative and quantitative analysis of non-periodic space-time homogenization problems for nonlinear diffusion equations
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22K20331
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
岡 大将 東京大学, 大学院工学系研究科(工学部), 特任研究員 (00962268)
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| Project Period (FY) |
2022-08-31 – 2024-03-31
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| Keywords | 非線形拡散方程式 / 時空均質化問題 / 時空unfolding法 / H-収束 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は, 非線形拡散方程式に対する時空均質化問題の研究に取り組んだ. まず, 係数行列場が周期性を伴う周期的時空均質化問題に於いて, 時空２スケール収束理論に基づいて周期パラメータに関する極限方程式を意味する均質化方程式及び, 均質化行列の特徴づけを行った際に得られた成果が査読付き学術論文として掲載された. 但し, 掲載された学術論文では, 解の勾配に対する修正項付きの強収束性を証明することでSobolev空間上に於ける強コンパクト性の破れが生じることも明らかにしていたが, その際, 周期的な係数行列場に対して滑らかさを仮定しており, 追加の仮定が本質的となっていた. 次に, 追加の仮定を取り払うために, 時空unfolding法を導入し, その随伴作用素に対応する平均化作用素を用いた別の修正項付きの解の勾配に対する強収束性を証明することで均質化定理と同程度の仮定の下でSobolev空間上に於ける強コンパクト性の破れが生じることを明らかにし, この結果が査読付き学術論文として掲載された. また, 学術論文のみならず, 日本数学会を始めとした口頭発表による成果報告も行なった.
周期的時空均質化問題に於いて得られた成果を非周期的な場合へと拡張することが本研究の目標の一つであり, 非周期化の一つとしてH-収束の証明が挙げられる. H-収束は係数行列場に対して一様楕円性のみを課した線形楕円型方程式に対する均質化問題に於ける収束概念であり, 今年度は, H-収束性の非線形問題への拡張にも取り組んだ. その際に得られた成果の一部を日本応用数理学会やRIMS共同研究等で口頭発表による成果報告も行なった.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究は, 非線形拡散方程式に対する周期的時空均質化問題に於いて得られた定性的な結果を非周期化及び, 定量化することが目的であり, その基礎を成す周期的時空均質化問題に於ける成果の正当性が査読付き論文の掲載を通じて確かめられ, 実際に, 非周期化に向けて一部成果が得られているからである.
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| Strategy for Future Research Activity |
H-収束性についてすでに得られている成果を学術論文としてまとめて報告し, 非線形拡散方程式の場合へと拡張する. さらに, 周期的時空均質化問題に於ける解やその勾配の収束性に関する定性的な結果を定量的な結果へと拡張するために時空unfolding法に導入してこれらの収束レートを導出する.
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| Causes of Carryover |
成果報告や研究討論のための国内出張に変更が生じたため, 来年度の国内出張費用として使用する予定である.
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