Analytic group properties that are von Neumann equivalence invariant

2021 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 21F21737
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 小沢 登高 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (60323466)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): BATTSEREN BAT-OD 京都大学, 数理解析研究所, 外国人特別研究員
• Project Period (FY): 2021-11-18 – 2024-03-31
• Keywords: 函数解析 / 離散群論 / フォンノイマン同値

Outline of Annual Research Achievements

群は最も基本的な数学的研究対象である。群の研究には代数、幾何、解析と幾つもの切り口があるが、本研究計画の目的は群の上の解析学である非可換調和解析の研究を行うことにあった。ふたつの群があたえられたとき、それがどの程度同じ性質を共有するのか、あるいはしないのかを理解することは重要である。群の堅牢ではあるが大雑把な幾何学的情報をエンコードしたものが１９６０年代にミルナー氏によって導入された擬等長同値関係である。その測度論的類似が２０００年ごろにグロモフ氏によって導入された測度同値関係で、これまで多くの研究者によって研究されてきた。測度同値関係を「非可換化」して得られる一般化がフォンノイマン同値関係で、これはごく近年になって提唱されたものである。本研究計画では、群の間の同値関係であるこのフォンノイマン同値関係に着目し、その不変量を調べた。本研究計画では非可換調和解析とフォンノイマン同値関係の理解を促進することができた。そのために、外国人特別研究員のBattserenが東京大学数理科学研究科に出張して木田教授との研究連絡を行った。木田教授は測度同値関係の専門家である。Battserenは特に離散群の重要な性質である完全性がフォンノイマン同値関係の不変量であるか否かを調べた。離散群の完全性が測度同値関係の不変量であることは以前から知られていたが、証明を記載した文献は存在してこなかった。Battserenの業績はこのギャップを埋めるものでもある。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

フォンノイマン同値関係に関する新たな知見を得た。フォンノイマン同値関係はより多くの研究者に研究されている測度同値関係の一般化であるが、フォンノイマン同値関係を研究することで測度同値関係についても新たな視点をもたらすことが出来た。

Strategy for Future Research Activity

さらにフォンノイマン同値関係の研究を進める。そのために北海道大学の鈴木准教授のもとを訪れ、研究連絡を行うことを予定している。