2022 Fiscal Year Annual Research Report
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21J20107
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
高田 佑太 北海道大学, 理学院, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2021-04-28 – 2024-03-31
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| Keywords | K3曲面 / 超幾何群 / 格子 / 力学系 / エントロピー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は，K3格子上の自己同型の構成に超幾何群の理論を導入することで具体例を量産し，その結果を解析することでK3曲面上の力学系に対する理解を深めること，特にエントロピースペクトラムを決定すること，さらにその過程において超幾何群の理論と格子上の自己同型の理論を発達させることであった．
本年度の成果として，岩﨑克則との共著論文「K3 surfaces, Picard numbers and Siegel disks」が国際学術誌 J. Pure Appl. Algebra から出版されたことが挙げられる．内容としては，超幾何群の理論を用いたK3格子自己同型の構成を用いて「0以上18以下の任意の偶数に対して，その数をPicard数としてもつK3曲面であって，Siegel円板をもつ自己同型を許容するものが存在する」という結果を示したものである．また，不動点のまわりにランク１の回転領域をもつK3曲面の自己同型の存在も示している．これまでは不動点のまわりの回転領域に関していえばランク２のもの，すなわちSiegel円板，に注目されていたから，これは今後の展開が期待される結果である．
また，エントロピースペクトラムの問題に関して，「20次のSalem数はすべて非射影的なK3曲面の自己同型のエントロピーとして実現される」という結果を得た．これは E. Bayer-Fluckiger による仕事を拡張するものであり，エントロピースペクトラムの問題の解決への重要な一歩である．この成果をまとめたプレプリント「Lattice isometries and K3 surface automorphisms: Salem numbers of degree 20」を完成させた．なお，このプレプリントの成果は，本質的には格子の自己同型に関する理論における成果であり，他分野への応用も期待される．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
現在までに，E. Bayer-Fluckiger らが格子の自己同型に理論にもたらした整数論的な視点を発展させたプレプリント「Lattice isometries and K3 surface automorphisms: Salem numbers of degree 20」を完成させた．この中で20次のすべてのSalem数が非射影的なK3曲面の自己同型のエントロピーとして実現されることを証明している．Bayer-Fluckigerらによる結果と合わせると，Salem数の次数が10または18の場合を除いて，非射影的なK3曲面のエントロピースペクトラムは決定されたことになる．とはいえ，本年度までで非射影的なK3曲面のエントロピースペクトラムについては完全に決定する予定だったから，進捗状況としてはやや遅れている．ただし，次数が10または18の場合の問題はSalem数の整数論的性質に基づく興味深いものであり，より深い研究につながっていきそうだということもわかった．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究の推進方針としては大きく分けて次の３つが考えられる：（１）不動点のまわりにランク１の回転領域をもつK3曲面の自己同型の探究，（２）非射影的なK3曲面のエントロピースペクトラムの残された問題の解決，（３）射影的なK3曲面のエントロピースペクトラムの決定．
（１）には超幾何群の方法によるK3格子の自己同型の構成が有効である．共同研究者の岩崎克則と取り組んでいきたい．（２）はSalem数の整数論的性質の探究や格子の自己同型に関する理論の深化によって達成したい．（３）には，格子理論・代数幾何・複素幾何など多角的な視点が必要になりそうである．他の研究者との研究交流なども積極的に行い，さまざま視点を取り入れながら取り組みたい．
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