2021 Fiscal Year Annual Research Report
Z2渦によるトポロジカル相転移のテンソルネットワークに基づく研究
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21J20523
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
上田 篤 東京大学, 理学系研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2021-04-28 – 2024-03-31
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| Keywords | テンソルネットワーク / トポロジカル相転移 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
テンソルネットワーク繰り込み群による二次元XY模型の研究を行った。二次元XY模型は、トポロジカル相転移を有限温度に持つ最もよく知られた模型であり、トポロジカル相転移の研究における基礎となっている模型である。この格子模型を記述する連続場の理論は、Sine-Gordon模型と呼ばれこの模型の繰り込み群のフローを摂動的に解くことで、Kosterlitzは二次元XY模型のトポロジカル転移を解明した。
一方で、Kosterlitzによる繰り込み群のフローは二次元XY模型のもつU(1)対称性をもとに構築した連続場の理論に基づくものであり、格子模型であるXY模型で実際に場の理論で解析されているような繰り込み群のフローが起こっているかを明確に示した研究はなかった。 よって、これを示すことは場の理論におけるトポロジカル転移の解析を裏付ける証拠となるので重要であった。
我々は、二次元古典模型の転送行列の固有値と一次元量子系のエネルギースペクトラムの対応を使用することにより、XY模型から連続場の理論であるSine-Gordon模型の結合定数を計算できることを示した。その際、摂動計算を3次まで行うことで精密な計算を可能にし、結果として二次元古典XY模型での繰り込み群のフローがKosterlitzの予言したものと高い精度で一致することを確認した。
上記の方法は、数値シミュレーションを非常に高い精度でコントロールすることができ、対数補正によって従来難しいとされてきた転移点の温度の決定を世界一の精度で達成することができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
Z2渦によるトポロジカル転移が議論されてきた二次元古典系Lebwohl-Lasher模型をテンソル繰り込み軍を用いて数値的に調べる予定であった。実際に、科学研究費で購入したワークステーションPCによって計算の時間効率があがり、データをより効率的に集めることができるようになった。
一方で、Lebwohl-Lasher模型の数値データを解釈する理論的な知識が乏しかったため、令和三年度内にはこの研究を完了することができなかった。この研究は令和４年度に持ち越し達成した。
一方で、テンソル繰り込み群の非平衡系への応用は行うことができた。動的量子相転移という量子クエンチ系の特異性が、二次元古典平衡系の臨界性と酷似していることを発見して、実際に量子古典対応を用いることでその対応を解析的に示すことができた。この内容は、日本物理学会で発表することができたので従来の研究を発展させたという意味で研究の進捗に貢献した。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度の研究において残った課題として、Z2渦によるトポロジカル転移が議論されてきた二次元古典系Lebwohl-Lasher模型を連続場の理論で説明することがあった。今年度、比較的明快な結論を出すことができた古典XY模型の場合は、対応する理論がわかったいたことと比較すると、Lebwohl-Lasher模型の数値的な結果を説明できていないのは対応する固定点の理論とそのエネルギースペクトラムがわかっていないことが一番大きな課題となっている。
令和四年度は、これを解決するとともに古典XY模型に応用したテンソル繰り込みの方法をより一般化することでさまざまな問題に応用できるようにすることを目指す。一例として、有限ボンド次元で近似された臨界点のテンソルネットワーク表現は、一般に有限の相関長を持つことが知られている。これは、臨界点からrelevantな摂動を加えることによって生成できると考えられるが、実際にどのようなダイナミクスで有限のエネルギーギャップが生成されるかは興味深い。 これは、我々の手法を一般化することで可能になると考えられ、次年度に取り組む課題とする。 もしこれが可能となれば、従来難しいとされていたテンソル繰り込みによる数値誤差を定量的に見積もることが可能になり、より高い精度の計算が可能となる。
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