2021 Fiscal Year Annual Research Report
Categorification of cohomological Donaldson--Thomas invariants
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21J21118
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
金城 翼 東京大学, 大学院数理科学研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2021-04-28 – 2024-03-31
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| Keywords | Donaldson-Thomas理論 / 数え上げ幾何学 / 導来シンプレクティック幾何学 / Higgs束 / モジュライ空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度はまず仮想基本類についての研究を論文にまとめた。この研究は報告者によって以前示された臨界コホモロジーのThom同型を用いてオイラー類の構成の類似を考えることで、仮想基本類の新しい構成が与えられるというものである。この構成は超局所層理論が導来代数幾何的な一般化を持つことの根拠を与えるものである。証明にはFourier-佐藤変換を用いて双対障害束と障害束を比較するというアイデアを用いた。より詳細には、双対障害束上のJoyce偏屈層のFourier-佐藤変換が内在的法錐に台を持つということが証明の鍵になる。
また、Higgs束のモジュライ空間についての研究も進めた。増田成希氏との共同研究ではHiggs束の導来モジュライスタックの双対障害束の全空間を、ある滑らかな空間の上の関数の臨界点集合として記述した。この記述により、Higgs束のモジュライ空間にコホモロジー的Donaldson-Thomas理論を応用することが可能になった。さらに小関直紀氏との共同研究ではこの臨界点としての記述を用いることでHiggs束のモジュライ空間のBPSコホモロジーを導入した。BPSコホモロジーはHiggs束のモジュライ空間の常コホモロジーを特異点に沿って修正したものである。この共同研究においてBPSコホモロジーがHiggs束の次数に依存しないことを証明した。この主張はHauselとThaddeusによって予想された(GL_n-)Higgs束のモジュライ空間のミラー対称性を一般の次数に拡張したものである。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
当初の目標であった四次元カラビヤウ多様体の数え上げ不変量の偏屈層論的な構成の特別な場合である仮想基本類の構成を論文にまとめられたことは大きな進展である。また、Higgs束のモジュライ空間のコホモロジーの研究にコホモロジー的Donaldson-Thomas理論を応用できたことは当初予期していなかった非常に興味深い方向性であると考える。
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| Strategy for Future Research Activity |
仮想基本類の層論的な構成を一般化することで、四次元カラビヤウ多様体の数え上げ不変量の偏屈層論的な構成について考察する。また、これまではGL_n-Higgs束のモジュライ空間に対してのみコホモロジー的Donaldson-Thomas理論が適用可能であったが、今後は一般の簡約代数群Gに対するG-Higgs束のモジュライ空間に対してコホモロジー的Donaldson-Thomas理論を適用することを試みる。
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