2022 Fiscal Year Annual Research Report
Homotopy theoretic study of algebraic varieties with modulus
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22J20698
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
小泉 淳之介 東京大学, 数理科学研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2022-04-22 – 2025-03-31
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| Keywords | モチーフ / de Rham-Witt複体 / 相互層 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2022年度の研究では，モチーフ理論を一般化する試みのうち最近特に発展の著しい相互層の理論に焦点を当てて研究を行なった．相互層の理論は申請者が構築を目指しているモジュラス対のホモトピー理論のアーベル版と見做せるものである．
NTT基礎数学研究所の宮﨑弘安氏との共同研究においては，Kahn-Saito-Yamazakiによる相互層の理論を一般のNoetherスキーム上に拡張し，底変換関手の理論を構築した．また同研究において，相互層の非A^1不変部分にWitt環が作用することを見出し，相互層の捻れと可除性に関するBinda-Cao-Kai-Sugiyamaの定理を一般化した形で再証明することに成功した．一般の相互層に対してこのような秩序立った構造が存在することは，今まで全く知られていなかったタイプの結果と言える．
さらに同研究において，正標数の代数幾何学において重要な役割を果たすde Rham-Witt複体が，あるモジュラス対のモチーフとして表されることを証明した．これはMilnorのK理論をモチヴィックコホモロジーとして解釈するSuslin-Voevodskyの定理の加法的な類似と見做せるものであり，様々な応用が期待される．
また申請者単独の研究では，モジュラス対の圏上のある条件を満たす層に対し，コホモロジーのブローアップ不変性を証明することができた．これにより，特異点解消のもとでHodge実現関手およびWitt実現関手を構成することに成功した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
2022年度の研究では，当初予定していた不分岐層の理論の拡張を一旦保留したが，より具体的な対象であるde Rham-Witt複体のモチーフ論的構成に着手し，満足できる形で完成させることができた．これは大きな目標としているMilnor-WItt層とHodge-Witt層の融合およびそのホモトピー論的構成に大きく近づく結果であり，研究全体としては順調に進展していると言える．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後はまず，モジュラス付きモチーフの圏の一般性質の解明および種々の実現関手の構成に注力する．特にHodge-Witt実現関手の完全な構成を目指す．また，モジュラス付きの不分岐層の理論についても研究を進め，広い範囲の移送付きモジュラス層に対してその不分岐性を証明することを目指す．余力があれば，移送のないモジュラス層に対する一般論の構築にも着手する．
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