2023 Fiscal Year Research-status Report
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22KJ1016
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
小泉 淳之介 東京大学, 数理科学研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2023-03-08 – 2025-03-31
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| Keywords | モチーフ理論 / モジュラス付きモチーフ / モチーフ / 代数的サイクル / ホモトピー不変性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2023年度の研究では，主にモジュラス対に対するコホモロジー理論の一般的性質の探究を行った．これはBinda-Rulling-斎藤によるモジュラス層および相互層のコホモロジーの研究をさらに深めるものである．特に，宮﨑弘安氏との共同研究で導入したQモジュラス対の概念を用いることで，従来の理論では困難であった一般性の高いブローアップ不変性定理を得ることができた．またそれを応用し，Kelly-宮﨑によるモジュラス付きHodgeコホモロジーのブローアップ不変性の簡潔な別証明を得たほか，モジュラス付きWittベクトルコホモロジーのブローアップ不変性を証明することができた．これらのブローアップ不変性は当該コホモロジー理論をモジュラス付きモチーフ理論の枠組みで捉えるために不可欠なものであり，他の様々なコホモロジー理論にも適用できることが期待される．上述の内容は論文にまとめ，プレプリントとして発表した．
また，上述のブローアップ不変性定理を踏まえ，斎藤秀司氏および宮﨑弘安氏と共同で，モジュラス対をQモジュラス対で代替する新たなモチーフ理論の構築に着手した．これにより従来のモジュラス付きモチーフの圏よりも性質が良く，またBinda-Park-Ostvaerによる対数的モチーフの圏を包含するような圏が得られることが期待される．この新たな理論の構築については，2024年度も引き続き共同研究を進めていく予定である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度は2022年度に発表した宮﨑弘安氏との共著論文が査読付き国際誌に受理されたほか，ブローアップ不変性定理に関する単著論文を新たにプレプリントとして公開することができた．以上のように研究はおおむね計画通り順調に進展している．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究では，引き続き斎藤秀司氏および宮﨑弘安氏と共同で，Qモジュラス対を用いる新たなモジュラス付きモチーフの圏の構築に取り組む予定である．特に，正標数の滑らかな代数多様体に対するHodge-Wittコホモロジーが表現されるモチーフの圏の構成が一つの大きな目標となる．また並行して，Morel-Voevodskyによるモチーフ的ホモトピー論のQモジュラス対に対する類似物の構成にも着手し，モジュラス付きモチーフの枠組みで特異スキームの代数的K理論を扱えるかという重要な問題に接近していきたいと考えている．
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| Causes of Carryover |
2024年3月にドイツで行われた国際研究集会に参加予定であったが，所用により欠席することとなり，当初使用予定であった旅費を使用しなかった．当該額は2024年度の国際研究集会への参加に伴う旅費として使用する予定である．
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