2022 Fiscal Year Annual Research Report
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21J00425
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
井上 翔太 東京工業大学, 理学院, 特別研究員(PD)
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| Project Period (FY) |
2021-04-28 – 2024-03-31
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| Keywords | ゼータ関数 / L関数 / 値分布 / 極限定理 / 独立性 / モーメント |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は、確率論的極限定理からL関数を理解することにより、先行研究の改善を行うこと、およびL関数に関係する未解決問題に極限定理を応用することである。本年度ではゼータ関数・L関数の値分布についての幾つかの結果を証明することで、この目的に対して一定の成果を得た。今年度は昨年度から引き続き、 Riemannゼータ関数のモーメント、Dirichlet L関数の臨界領域内での独立性について研究をした。
Riemannゼータ関数のモーメントについては、昨年度の段階で理論的な内容は完成していたので、それを論文としてまとめた。
Dirichlet L関数の臨界領域内での独立性については、昨年度では証明できていなかった、任意のr組のDirichlet L関数の同時分布の漸近公式を証明することができた。これにはDirichlet指標のある種の和の挙動を把握する必要があり、昨年度までは証明が完了していなかった。本年度の研究で、指標に係数を付け、パラメータ化した指標和を考えるという新しい手法を導入することで、本問題を解決することができた。またこの結果の系として、Mahatab-Pankowski-Vatwaniらが提示した未解決問題を、Dirichlet L関数の場合に対して解決することもできた。この結果は既にarXivで公開済みである。
さらにRiemannゼータ関数の零点の虚部の分布に関する研究も今年度から開始した。これはGoldston氏から提案されたテーマで、彼から提案された問題を解決した。論文も既に執筆済みで、arXivにて公開している。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究の目的は、確率論的極限定理からL関数を理解することである。本年度では、昨年度まである条件付きなDirichlet L関数の独立性についての結果を、完全に無条件に証明することができた。これは昨年度までの成果を著しく発展させるもので、この点については本研究課題の目的に対して、一定の成果を挙げられたと考える。一方で、昨年度での課題でもあった、一般のL関数の独立性についての進展は得られなかった。
また、今年度からはRiemannゼータ関数の零点の分布に関する研究も開始した。これはGoldston氏から提案された未解決問題がきっかけである。そのため本研究は、本課題の計画段階では想定していなかった。しかし、Riemannゼータ関数の零点分布は、本研究課題である値分布と深い関係がある。そして、Goldston氏から提案された問題を解決し論文を執筆することができた。
加え本研究課題のひとつである、Resonance methodによるゼータ関数の極値評価の研究も今年度から進めることができた。
以上の研究成果と本研究課題の目的を鑑みて、おおむね順調に進展していると考える。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究では、Riemannゼータ関数の中心極限定理のdiscrepancy評価、Resonance methodによるゼータ関数の極値評価の研究を進める。これらふたつの研究は今年度の後半から開始したが、現時点でいくつかの理論的な難しさがあり、まだ新しい成果を得ることはできていない。
中心極限定理のdiscrepancy評価は、Montgomeryのpair correlation予想のような零点の間隔の相関と関係があることがGoldston氏の研究から推測される。実際に彼は、2次モーメントがpair correlation予想と関係することを明らかにしている。。本年度の研究で、Goldston氏の研究をいくつか発展させることはできたが、discrepancy評価には高次のモーメントに関する情報も必要となる。今後の研究では、この高次モーメントと零点の間隔の相関を結びつけることを目標とする。
またResonance methodの研究は、何人かの数学者によりDedekindゼータ関数に対して発展した。これは代数体が円分体に付随するDedekindゼータ関数に対するものである。今後の研究ではresonatorの取り方を工夫することでこの円分体の条件を外すことを目指す。
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