不確かさをもつ非線形ネットワークのマルチスケール解析：遺伝子ネットワークへの応用

2021 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 21J21262
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Institution: Tokyo Institute of Technology
• Principal Investigator: 加藤 留偉 東京工業大学, 情報理工学院, 特別研究員(DC1)
• Project Period (FY): 2021-04-28 – 2024-03-31
• Keywords: 複雑ネットワーク / 非線形ダイナミクス

Outline of Annual Research Achievements

本研究課題では，パラメータが不確定な状況において，複雑ネットワークシステムの振る舞いを制御・予測するための数理的手法の構築を行う．近年，複雑ネットワークに対する構造的制御理論の応用が注目を集めているが，ネットワーク構造から分かるシステムの性質は定性的なものに限られるため，制御・予測の効率性などが課題として残されている．そこで，ネットワーク構造に基づく定性的なアプローチとモデルに基づく定量的なアプローチを組み合わせ，ロバストかつ効率的な制御・予測のための理論構築を目指す．
初年度は，システムの漸近挙動の決定則に着目して研究を進めた．具体的に得られた結果は以下の通りである．
(1)複雑ネットワークをダイナミクスにとって支配的な部分とそうでない部分に分解し，支配的なサブシステムの状態を外部から計測することで，残りのサブシステムの挙動を予測することができる．そのような分解の方法として，非計測サブシステムが適当な入力応答特性をもつようにすることが重要である．
(2)観測出力からアトラクタ上の状態を決定する方法として，無限次元系の解析に用いられるManeの射影定理に着目した．これはシステムの軌道をすべて吸引する大域的アトラクタをある低次元空間に埋め込むための手法である．これにより，システムの可制御性・可観測性とシステムがもつアトラクタの複雑さとの関係が明らかになった．また，contractionと呼ばれる安定性の解析理論を用いることで，制御・予測の効率性についても解析できることを示した．

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

当初の予定通り，複雑ネットワークシステムに対する可制御性および可観測性の解析のための枠組みを構築できた．まず，システムのアトラクタ次元が既知の場合に，ある値以上のランクをもつほとんどすべての射影行列がアトラクタ上で単射になることを利用して，可観測性のために必要な観測ノード数を特定した．しかし，観測ノードの配置によっては射影が単射にならないという問題点も見つかった．一方，contraction理論を用いることで，制御・予測の効率性を定量化することができた．

Strategy for Future Research Activity

今後は当初の計画を進めつつ，新たに見つかった問題点の解決を目指す．とくに，以下の2点について研究を進める．
(1)システムのもつ非線形ダイナミクスと可制御性・可観測性との関係を明らかにする．そのために，システムのクラスを単調システムなどの単純なものに限定して，ネットワーク構造から可制御性・可観測性の解析を行う．
(2)構造的制御理論とcontraction理論を組みわせることで，ロバストかつ効率的な制御・予測理論を構築する．一方で，計算量の観点からスケーラブルな解析理論の構築を目指す．