2022 Fiscal Year Annual Research Report
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22J00022
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
室谷 岳寛 東京工業大学, 理学院, 特別研究員(PD)
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| Project Period (FY) |
2022-04-22 – 2025-03-31
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| Keywords | 遠アーベル幾何学 / エタール基本群 / Grothendieck予想 / 双曲的曲線 / 絶対Galois群 / 混標数完備離散付値体 / Kummer忠実体 / 有限体の代数拡大体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度はまず、p進局所体の絶対Galois群の間の準同型の幾何性に関する（望月新一・星裕一郎両氏による）既存の結果をベースとして、同様の問題を一般の剰余完全な混標数完備離散付値体に対して考えた。これにより、剰余体が有限体の代数拡大体であるような場合に、準同型が幾何的であるための必要十分条件を与え、さらに弱い条件の下でも弱同型版のGrothendieck予想型の結果を得た。これらの結果は論文にまとめ、公開中である。
さらにこの結果を受けて、有限体の（有限次とは限らない）代数拡大体、あるいはこのような体を剰余体に持つ（標数0の）完備離散付値体は遠アーベル的に良い振舞いをする可能性があると考え、有限体の代数拡大体のKummer忠実性を検討した。その結果、有限体の代数拡大体がトーラス的Kummer忠実、あるいはKummer忠実であるための（体の絶対Galois群に関する）必要十分条件をそれぞれ与えることに成功した。さらに、今回の結果と（研究代表者による）過去の結果を組み合わせることで、Kummer忠実な有限体の代数拡大体を剰余体に持つ標数0の完備離散付値体も再びKummer忠実体であることもわかった。また、有限体の代数拡大体上の双曲的曲線のエタール基本群及びtame基本群についても研究し、後者から幾何的部分群を復元することに成功し、前者についても部分的な結果を得た。これと有限体の代数閉包上の種数0の双曲的曲線に対する弱同型版のGrothendieck予想（玉川安騎男氏による結果）を組み合わせることで、これを有限体の代数拡大体上の結果（tame版）に拡張することにも成功した。これらの結果についても論文を執筆し、公開中である。
研究発表としては、今年度に投稿した研究論文が受理されたほか、受入研究機関におけるセミナーにおいて講演を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度は、当初研究を計画していた有限体の代数閉包（あるいはより一般の代数拡大体）を係数とするWitt環の商体の有限次拡大体の遠アーベル幾何学について一定の成果を得たほか、有限体の（無限次）代数拡大体上の遠アーベル幾何学についても結果を得ることができた。もう1つの研究テーマであるp進局所体上の双曲的曲線に対する絶対版Grothendieck予想については決定的な結果は得られていないが、いくつかの有益な知見を得ることができた。また、このテーマについては初めから難航が予想され、当初の研究計画においても今年度中の解決を見込んでいなかった。
以上を踏まえると、本研究課題はおおむね順調に進展していると言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究の推進方策として、まずは、本研究課題の重要テーマの1つであるp進局所体上の双曲的曲線に対する絶対版Grothendieck予想に取り組む。その際、これまでの研究で得た知見を活かすことを意識しつつ、新たなアプローチの方向性も探ることとする。また、有限体の代数拡大体を係数とするWitt環の商体の有限次拡大体の研究は一定の成果が得られたため、次の研究テーマとして、剰余体が必ずしも完全でない完備離散付値体の（Abbes-斎藤による）分岐フィルトレーション付き絶対Galois群を用いた遠アーベル幾何学にも取り組んでいく。
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