2022 Fiscal Year Annual Research Report
体積倍増条件を満たさない測度距離空間の確率論的解析
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21J20251
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
大井 拓夢 京都大学, 理学研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2021-04-28 – 2024-03-31
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| Keywords | Gauss場 / Dirichlet形式 / 安定過程 / ガウス乗法カオス / スケール極限 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は、ガウス乗法カオスによる時間変更過程の収束について次の結果を得た。
1.確率過程が収束しているときに、その過程のλ位のグリーン関数を共分散の核に持つガウス場からつくられたガウス乗法カオスによる、元の確率過程の時間変更過程の収束について研究した。収束するレヴィ過程のグリーン関数などに一定の条件を課した際に、それらの対応するガウス乗法カオスによる時間変更過程が、スコロホッドのJ1位相を備えた空間上で、L^2レジームの適切な範囲内で分布収束するという結果を得た。この定理の具体例として、「L^2レジーム全体で、αを1に近づけたとき、1次元リウヴィルα-安定過程がリウヴィルコーシー過程にスコロホッドのJ1位相で分布収束する」ことと、「L^2レジームの半分の範囲内で、広義一様収束位相を考えたとき、Z^2格子上のリウヴィル単純ランダムウォークのスケール極限が2次元のリウヴィルブラウン運動である」ことを示した。後者の例に関しては主定理の条件をより精密に確認することでL^2レジーム全体での主張に拡張することが期待される。
2.確率過程を固定し、なめらかな測度が漠収束しているとき、その対応する正値連続加法汎関数がどのスコロホッド位相に対しても分布収束せず、緊密でもなく、更に、対応する時間変更過程も収束せず、緊密でないという具体例を構成した。この具体例は、今後時間変更過程の収束の条件を探る上で重要な手がかりになると期待される。
これらについて、国内外の研究集会で講演を行い、結果を周知した。また、この結果を現在論文としてまとめている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
昨年度は途中結果のみで終わった、ガウス乗法カオスによる時間変更α-安定過程の収束に関する結果を得たことが理由である。更に、それを一般化した結果と、リウヴィル単純ランダムウォークのスケール極限に関する結果も得ることができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は主定理をより広範囲の確率過程に拡張することを考える。特に、内部消滅する場合に、スコロホッド位相の性質を調べることで拡張を試みる。また、ガウス乗法カオスによる時間変更α-安定過程の性質をリウヴィルブラウン運動の性質を参考にしつつ調べる。
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