冪単部分群の座標環のクラスター構造の加法的圏化と乗法的圏化の関係について

2023 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 22KJ1741
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 池田 湧哉 京都大学, 理学研究科, 特別研究員(DC1)
• Project Period (FY): 2023-03-08 – 2024-03-31
• Keywords: 量子群 / 圏化 / KLR代数 / 前射影代数 / 箙の表現

Outline of Annual Research Achievements

今年はKLR代数の標準加群の間の射に注目した。A型においては射の存在に対する組み合せ論的な必要十分条件が得られたが、それ以外の型についてはいくつかの難しいポイントがある。例えば、以下のようなものである: 標準加群とはcuspidal加群の合成で得られるが、A型ではcuspidal加群が必ず1次元であるのに対して他の型では次元が大きくなる可能性がある。先行研究では有限型の多くの場合についてcuspidal加群は次数付き加群として1つの次数に集中することや指標を計算する公式が知られているが、E型では例外的な加群が現れることも知られておりこれらを統一的に扱うのは難しい。
そこでそもそものテーマであった乗法的圏化と加法的圏化の関係に立ち返り量子群(の下半分)の加法的圏化を与える前射影代数の表現論からcuspidal加群を記述することを目指した。
ここでまず考える問題は、cuspidal加群の最高ウェイトを与える単純ルートの添字の列を計算する方法である。これはgood Lyndon wordを計算する方法を与えることと同じことである。得られた結果は次のようなものである: 単純ルートへの全順序に付随するルートの順序を与えるようなWeyl群の元の表示を考える。全射影代数の単純加群に対して、この表示の順番に鏡映関手を繰り返し施すことで得られる一連の加群を考える。この構成はGeiss-Leclerc-Schroerで与えられる別の構成の特別な場合であることがわかる。これらの加群は次元ベクトルがルートであり、JH列にcuspidal加群の最高ウェイト(これは単純ルートの添字の列である)を持つことがわかった。 さらにこれらの加群の構造を具体的に記述する幾つかの結果も得られた。また以前から作成していたKLR代数の計算のためのプログラムを改善し様々な代数や加群の基底を具体的に計算することが可能となった。