2022 Fiscal Year Annual Research Report
制約条件付きベクトル場に対する種々の最良型関数不等式
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21J00172
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Research Institution | Osaka Metropolitan University |
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Principal Investigator |
濱本 直樹 大阪公立大学, 大学院理学研究科, 特別研究員(PD)
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| Project Period (FY) |
2021-04-28 – 2024-03-31
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| Keywords | ソレノイダルベクトル場 / 渦無し場 / 不確定性原理不等式 / Hardy不等式 / Poincare不等式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
前年度に引き続き、ベクトル場に対する関数不等式の最良定数について研究を進めている。特に際立った進展としては、ソレノイダル場に対する不確定性原理不等式の最良定数を計算した論文がフランスの数学雑誌Journal de Mathematiques Pures et Appliqueesに掲載された。論文審査では、3次元の場合と4次元以上の場合では最良値の達成構造が異なるところが非常に興味深いという論文審査員からのコメントを受け、最良定数の値のみならず、達成関数の具体表示を追記した内容となっている。さらに同不等式について、2次モーメント部分をベクトル積の二乗積分に置き換えることで不等式を強化する試みにも取り組んだ。結果はもとの不確定性原理不等式の最良定数を再現するまでには至らなかったものの、新しい形の最良定数を得ることができ、その内容を学会発表で講演した。一方で、Hardy不等式の最良定数は達成されないことが知られているが、その補正項に対する興味がきっかけとなって、球体上のPoincare不等式の最良定数を制約条件付きベクトル場に対して求める問題にも取り組み始めた。実際にある程度まで最良定数の計算可能性が判明し、学会発表では渦無し場に対するPoincare定数の計算結果を発表した。関連する問題として、球体上Hardy不等式の補正項の最適評価を求める問題にも制約条件付きベクトル場について取り組んでいきたい。尚、研究推進に際してパソコンを科研費で購入し、周辺機器及び数式処理ソフトウェアを購入した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
物理学において重要な不確定性原理不等式について、ソレノイダル条件下でのベクトル場に対する最良定数の明示値と達成関数の具体表示が明らかになった。当初は最良定数がそもそも計算可能かどうかが不明という段階からの出発であったが、すべての次元で計算可能であることが判明した。このことと、球体上の渦無し場に対するPoincare不等式についても最良定数の明示値が得られていることを踏まえて、かなりの進展であったと言える。また、現時点で論文投稿には至っていないものの、重み付きRellich-Hardy不等式のソレノイダル場に対する最良定数について、科研費で購入した数式処理ソフトをフルに活用して計算を着々と進めている。
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| Strategy for Future Research Activity |
前年度に引き続き、Hardy型に関連する色々な関数不等式について、制約条件付きベクトル場に対する最良構造の解明に取り組む。本年度は、まず現在進行中の重み付きRellich-Hardy不等式について、ソレノイダル場に対する最良定数の計算を進め、その内容を確実に論文投稿に持っていく予定である。また、前年度は実現しなかった研究集会の自分自身による運営を実現していきたい。
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