2022 Fiscal Year Annual Research Report
Probabilistic models of zeta-functions and applications to number theory
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21J00529
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Research Institution | Sophia University |
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Principal Investigator |
峰 正博 上智大学, 理工学部, 特別研究員(PD)
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| Project Period (FY) |
2021-04-28 – 2024-03-31
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| Keywords | ゼータ関数 / L関数 / 値分布 / フルヴィッツゼータ関数 / 対称積L関数 / 確率論的モデル / M関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は，ゼータ関数やL関数と呼ばれる一連の関数について，その値の振る舞いを確率論的な解釈に基づいて理解することを目的としたものである．とくに本年度はフルヴィッツゼータ関数および楕円カスプ形式の対称積L関数に着目し，その値分布に関する研究を行うことで以下の成果を得た．
第一の成果として，パラメータが代数的な無理数の場合にフルヴィッツゼータ関数の値分布の確率論的なモデルを与え，値の稠密性問題などへ応用することに成功した．パラメータが超越数または有理数の場合には既に有効な確率論的モデルが知られていたが，本成果は残りの場合，つまりパラメータが代数的無理数の場合のフルヴィッツゼータ関数の確率論的研究における，本質的な進展をもたらすものである．今後はゼータ関数のいわゆる普遍性理論への応用など，さらなる展開が期待される．
第二の成果はP. Lebacque氏，松本耕二氏，梅垣由美子氏との共同研究で得られた，楕円カスプ形式に付随する対称積L関数のレベルアスペクトでの値分布に付随する「M関数」の構成についてである．M関数とはゼータ関数やL関数の値分布に深く関連する密度関数であり，楕円カスプ形式に付随する通常のL関数の場合には既にM関数の構成が為されていた．本成果はその結果を2次の場合の対称積L関数に拡張したものである．一般次数の対称積L関数への拡張は研究途上であるが，その場合にもテスト関数を特殊化することである程度の成果を得ることができた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
ゼータ関数やL関数の値分布について，確率論の方面からの理解をより一層深めることができた．とくに代数的無理数をパラメータに持つフルヴィッツゼータ関数の値分布に対する確率論的モデルについては，先行研究の内容に致命的な誤りがあったため，研究をゼロからやり直す必要があった．こうした状況においても確率論的モデルの構成に成功したことは，本研究が順調に進展していることを示すものである．一方で，ゼータ関数の極値分布などへの応用の方面においては，研究がやや停滞している．リーマンゼータ関数の対数の反復積分で定義される関数について，臨界線の右側領域と臨界線上での状況の違いなど理論的な整理が進んできたため，それらの関数について極値分布を大偏差理論の観点から考察することを来年度の課題としたい．
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度までに構成したゼータ関数やL関数の値分布の確率論的モデルの応用についての研究を推進する．応用例としては，まず大偏差理論による極値分布の研究が挙げられる．リーマンゼータ関数の対数の反復積分で定義される関数についての残りの課題である，臨界線上での極値分布を考察したい．本年度の準備を元に，引き続き遠藤健太氏と井上翔太氏と共同で研究を実施する．別の応用例として，ゼータ関数の普遍性理論についても考察したい．代数的無理数パラメータのフルヴィッツゼータ関数のほか，保型L関数についてもいわゆる相対跡公式を用いることで，L関数の中心値で重みを付けた普遍性定理を証明することができると期待される．以上の2点を軸として今後の研究を推進する．
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